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プロローグ
...物理学はケーキのようなものです：
(1)
- 1階：観察、実験。
- 2階：微分方程式。
- 3階：幾何学。
- 4階：群論。
群は幾何学を支配し、幾何学は美しい微分方程式を生み出します。
微分方程式を用いて物事を構築し、それらは物理的事実と呼ばれるものを説明したり予測したりするために使用されます。
...歴史的に、人々は事実や観察を研究し体系化し、測定を行いました。その後、保存則や「物理法則」を考案しました。世紀の初め頃、物理法則は幾何学と何らかの関係があるかもしれないと考え始めました。
同じ時期に、フェリックス・クラインはこう問いかけました。
幾何学とは何か？
彼は「幾何学」とは言わず、「ある幾何学」と言ったことに注意してください（エアランゲン・プログラム）。
...クライン、リー、カルタンらは、幾何学的な外見の下に何かが潜んでいることを示しました。幾何学は最後の階層ではなく、物理学における知識の究極の到達点ではありませんでした。群構造から幾何学を構築することができます。
以下では、群、幾何学、物理学の関連性を示そうと試みます。ところで、群の上には何があるのでしょうか？
...私は「論理学」と答えたくなります。しかし論理学は、最後の住人がクルト・ゲーデルという危険な放火魔だった階です。彼の有名な定理により家具に火がつき、すべてが完全に破壊されました。この悲劇以来、その部屋は無人のままです。
...だからこそ、私はそこに疑問符を付けました。
群
...群とは何でしょうか？以下では、物理学における動的群の調査に限定します。すなわち、定義された公理を満たす正方行列（n,n）の集合です。群Gの要素であるこれらの行列gは、通常の（行-列）行列積を通じて互いに作用します。これらの正方行列の中には単位行列が含まれます。
(1-bis)
...群は、ノルウェーの数学者ソフス・リーによって定義された公理に従います。これらの公理は、行列の集合よりもはるかに一般的な対象に適用されます。しかし、ここではこの特定の領域に視点を絞り、行列積を用います。
x
1 - 群論の第一公理：
群Gの2つの要素g1とg2の積：
(2)
g3 = g1 x g2
は以下を満たします：
(3)
パラメータaのみに依存する行列群の例を挙げます。要素は以下の通りです：
(4)
2つの要素の積は以下のようになります：
(5)
すなわち：
(6)
g(a) x g(b) = g( g ) = g( a + b ) = g ( g )
行列積は以下のように書けます：
(7)
これはg1およびg2と類似しており、すなわち：
(8)
逆の例：パラメータaのみに依存する以下の行列の集合を考えます。
(9)
2つの要素の積は以下のようになります：
(10)
これは(5)と根本的に異なります。
2 - 群論の第二公理
要素の集合の中に、中立元eと呼ばれる特別な要素が存在しなければなりません。この要素は他の任意の要素と組み合わせたとき、以下を満たします：
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g x e = e x g = g
要素が正方行列である群において、この中立元eは常に単位行列1です。
(12)
g x 1 = 1 x g = g
スカラーを表すには細いフォントを、正方行列や行行列、列行列などの他の対象を表すには太字フォントを使用していることに注意してください。
最初の群の例に戻りましょう：
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以下に注目してください：
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