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序文。
...物理学はケーキのように：
(1)
- 1階：観察、実験。
- 2階：微分方程式。
- 3階：幾何学 - 4階：群論。
群は幾何学を支配し、美しい微分方程式を生み出す。
微分方程式を用いて物事を構築し、それらは後に物理的現象と呼ばれるものを説明したり予測したりするために使われる。
...歴史的に見ると、人々はまず事実や観察、測定を研究し、体系化した。その後、保存則や「物理法則」を思いついた。20世紀初頭には、物理法則が幾何学と関係があるかもしれないと考え始めた。
その頃、フェリクス・クラインは尋ねた：幾何学とは何か？
彼が「幾何学」と言ったのではなく「一つの幾何学」と言ったことに注意する（エーレンフェストのプログラム）。
...クライン、リー、カルタンなどは、外見的な幾何学の背後に何か隠されていることを示した。幾何学は物理における知識の最終段階、究極のものではなかった。群の構造から幾何学を構築することができる。
以降では、群、幾何学、物理学の間の関係を示そうと思う。
その途中で、群について何か？
...私は「論理」と答えるかもしれない。しかし論理は、最後の住人がクルト・ゲーデルという危険な放火犯だった部屋である。彼の有名な定理によって、部屋の家具は完全に破壊されてしまった。その悲劇以来、部屋は空っぽのままだ。
...だから、そこに疑問符を置いたのだ。
群。
...群とは何か？以下では、物理学の動的群に限って考察する：定義された公理に従う正方行列（n,n）の集合である。これらの行列 g は群 G の要素であり、通常の行列乗算（行×列）によって互いに作用する。この正方行列の集まりには単位行列が含まれる。
(1-bis)
...群はノルウェーの数学者ソフス・リーによって定義された公理に従う。これらの公理は行列の集合よりもはるかに広範な対象に適用されるが、ここでは特定の世界に限って考え、行列乗算を使用する：
x
1 - 群論の第一公理：
群 G の2つの要素 g1 と g2 の積：
(2)
g3 = g1 x g2
は次のようになる：
(3)
行列の群の例を示そう。これは1つのパラメータ a に依存する。要素は：
(4)
2つの要素の積は：
(5)
または：
(6)
g(a) x g(b) = g( g ) = g( a + b ) = **g **( g )
行列の積を書くと：
(7)
これは g1 と g2 と似ており、つまり：
(8)
反例として、次の1つのパラメータ a に依存する行列の集合を考える：
(9)
2つの要素の積は：
(10)
これは（5）とは本質的に異なる。
2 - 群論の第二公理：
要素の集合の中には、単位元 e と呼ばれる特別な要素が存在しなければならない。これは他のあらゆる要素と組み合わせたとき、次のようになる：
(11) g x **e = e **x **g **= g
正方行列からなる群では、この単位元 e は常に単位行列 1 である。
(12) g x 1 = 1 x g = g スカラーにはローマ字を使用し、他のオブジェクト（正方行列、行または列）には太字を使用することに注意する。
初期の群の例を思い出そう：
(13)
ここで注意すべきは：
(14)
オリジナルバージョン（英語）
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Prologue.
...Physics is like a cake :
(1)
- First floor : observations, experiments.
- Second floor : differential equations.
- Third floor : geometry - Fourh floor : groups theory.
Groups rule geometry, which fathers beautiful differential equations.
With differential equations we build things, which then are used to explain or predict what we call physical facts.
...Historically men began to study and to codify facts, observations, performing measurements. Then they imagined conservations laws, and "physical laws". At the begining of the century they began to think that physical laws could have something to do with geometry.
At the same period, Felix Klein asked : What is a geometry ?
Notice he said "*a *geometry" and not "geometry" (Erlangen's program)
...Klein, Lie, Cartan and others showed that something lied under geometrical appearence. Geometry was not the last floor, the nec plus ultra of knowledge in physics. From a group structure one can build a geometry.
In the following we will try to show the link between groups, geometry and physics.
By the way, upon groups, what ?
...I would tend to say : logics. But logics is a flat whose last occupier was Kurt Gdel, a dangerous pyromaniac. With his well-known theorem he put fire to the furniture,which was completely destroyed. Since this tragedy, the room is unoccupied.
...That's for I put a question mark there.
Groups.
...What's a group ? In the following we limit the investigation to dynamic groups of physics : a set of square matrixes (n,n) obeing defined axioms. Theses matrixes g, elements of a group G, act each on another through classical (line-column) matricial multiplication . Among these square matrices we find unity matrixes.
(1-bis)
...A group obeys the axioms defined by the Norvegian mathematician Sophus Lie. These axioms apply to objects which are much more general than matrixes sets. But we will limit our glance on this peculiar world and use the matrix-multiplication :
x
1 -** First axiom of groups'theory :**
The product of two elements g1 and g2 of a group G :
(2)
g3 = g1 x g2
obeys :
(3)
Let us give an example of a group of matrix, which depends on a single parameter a . The element is :
(4)
The product of two elements gives :
(5)
or :
(6)
g(a) x g(b) = g( g ) = g( a + b ) = **g **( g )
We can write the matrix-product :
(7)
which is similar to g1 and g2 , i.e :
(8)
Example to the contrary : Consider the following set of matrixes which depend on a single parameter a
(9)
The product of two elements gives :
(10)
which is basically different from (5).
2 - Second axiom of groups'theory :
In the set of elements we must find a peculiar one, called neutral element e , which, combined to any other element, obeys :
(11) g x **e = e **x **g **= g
In groups whose elements are square matrixes this neutral element e is always the unity matrix 1 .
(12) g x 1 = 1 x g = g Notice we use lightfaced types to describe scalars and bold types for other objects : square or line or colomn matrixes.
Let us return to the first example of group :
(13)
Remark that :
(14)