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3 - 群論の第3公理 :
群の任意の要素はその逆元を持たなければならない。これはg⁻¹と表され、次のように定義される：
(15) g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
私たちの例では：
(16)
つまり：b = -a または：
(17) g⁻¹ (a) = g (-a)
ここでは逆行列の計算は簡単である。
与えられた正方行列が逆行列を持つための条件は何か？
...任意の正方行列に対して、行列式と呼ばれるスカラーを関連付けることができる。定義については線形計算に関する書籍を参照のこと。この行列式はdet (g) と表される。
さらに、次の一般的な定理がある：
det (g₁ × g₂) = det (g₁) × det (g₂)
対角行列の行列式は：
(18)
したがって：det (1) = 1
なぜなら、1は対角行列だからである。
行列の逆元の定義から：
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
したがって：
(19)
det (g × g⁻¹) = det (g) × det (g⁻¹) = 1
...もしdet (g) = 0であれば、条件(19)は満たされない。特に行列式が0である行列の集合は第3公理を満たさず、群を形成できない。
また：
(20)
4 - 群論の第4公理 :
乗算は結合的でなければならない。つまり：
(21)
( g₁ × g₂ ) × g₃ = g₁ × ( g₂ × g₃ )
行列の乗算は基本的に結合的である。
群の次元：
...後で見る通り、群は列ベクトルで記述される空間に作用することができる。例えば、時空の点（「イベント」と呼ばれる）：
(22)
...これは4次元空間である。異なる群がこれに作用することができる。しかし、群の次元は、それがあたる空間の次元とは関係がない。
群（行列）の次元は、これらの正方行列を定義するパラメータの数である。
私たちは1つのパラメータで定義された行列の例を示した。
a
したがって、この群の次元は1である。
注意してほしいのは：
(22-bis)
注意：
すべての行列群が可換であるとは限らないが、私たちが研究した群はこの性質を持つ：
(23)
このような群が2次元空間に対応する列ベクトルに作用する場合：
(23 bis)
これは、平面上の固定点の周りの回転に対応する：
(23 ter)
この操作は明らかに可換である。
あなたは「すべての回転群のように」と言うかもしれない。
...しかし、それは誤りである。ある点Oを通る軸の周りの回転を考える。異なる軸の周りの2つの連続的な回転を組み合わせる。これは可換ではない。演習：直交座標系（OX、OY、OZ）を使って、これらの軸の周りの組み合わせた回転が可換操作ではないことを示せ。任意の物体を持ってきて行う。
- OXの周りに+90°回転し、その後OZの周りに+90°回転
- 初期状態に戻り、
- OZの周りに+90°回転し、その後OXの周りに+90°回転
結果を比較してみよ。
群の作用。
...群Gは正方行列gから構成される。これらは乗算可能である。我々は群が自身に作用することができると述べる。
群は、列ベクトルで記述される点の空間に作用することもできる。例：
(24)
もし：
(25)
と書けば、この空間に対する群の作用は：
(26) g × r
...この特別な場合、空間への作用は単なる行列乗算に還元される。しかし、作用という概念ははるかに広範囲である。