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一括り：時空の方向性
**...**2次元の世界では、幾何学的対象を文字に例えました。3次元の世界では、「右手」と「左手」に例えました。
4次元の構造は、アニメーションされたホログラムに例えられました。
**...**5次元や10次元の構造とは一体何になるのだろうか？たまには神を羨ましく思うこともあるよな。
**...**私たちの愚かな4次元構造を見て、彼は笑っているに違いない。
**...**しかし理論物理学者でさえ、数学者でさえ、それ自体が方向性を持つ4次元構造に過ぎない。もし方向性がなければ、過去と未来、右と左を区別できなかっただろう。
**...**全体としての宇宙は4次元の構造である。局所的に球面的なトポロジーを持つ閉じた物体だと考えよう。時間をtとしよう。ある瞬間において、3次元の超曲面となる断面を取ることができる。それが超球面S³であれば、時間には意味がある。時間ベクトルはこの超曲面を貫き、矛盾する状況は生じない。
**...**次元数を減らしてみよう。閉じた2次元の世界、つまりある種の時空(x,y,t)を想像してみよう。
**...**t = 定数で切断すると、その次元は3 - 1 = 2となる幾何学的対象が得られる：2次元の曲面。任意の点において、向き付けられた法線ベクトルが時間の矢印を表す。
もしこの時空が時間的に方向づけ可能（閉じていると仮定）であれば、空間はS²球面となる：
(152)
**...**しかし、空間を表す曲面が片面であるとしよう。たとえばボー曲面（閉じた片面の曲面。サイトの「数学」セクションを参照）。
(153)
モビウスの輪を貼り合わせて作ることができる。これを見てみよう：
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向き付けられた法線ベクトルを定義することは不可能であることは知っているだろう：
(155)
**...**ボー曲面の二重被覆は球面S²である。私たちの3次元時空を、宇宙時間tの各値に対応するように並べたロシア人形のように配置されたS²球面の集合に見立てると、ある種の時空において反対点が同一視される可能性を（難しくはあるが）考えられる。これは以下の論文で示唆されたトポロジー構造である：
ジャン＝ピエール・ペティ：「欠落した質量の問題」。Il nuovo Cimento B、第109巻、1994年7月、pp. 697-710。
**...**そして、球面上の「子午線」上にある反対点は、モビウスの輪の二重被覆として配置できることが知られている：
(156)
こうして、空間上の反対点領域が逆向きの時間の矢印と結びつく仕組みがわかる。
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**...**ついでながら、こうした構造がエナンチオモルフィックな物体をどのように結びつけるかがわかる。
**...**空間は4次元の超曲面である。宇宙時間tを定義できるならば、t = 定数での切断が可能となり、その断面は3次元空間となる。空間が閉じている場合、S³球面に類似させることができる。これは3次元におけるボー曲面の類似物である射影空間P³の二重被覆として構成できる。この操作により、時間の矢印が逆向きの領域同士が相互作用する。
元の英語版
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A parenthesis : Space-time orientation.
** ...**In 2d's world we assimilated geometrical objects to letters. In 3d's world they were assimilated to "right hand" and "left hand".
Four-dimensional structures were assimilated to animated holograms.
**...**What the hell could be a five-dimensional structure, or a ten dimensional one ? Sometimes I envy God, don't you?
**...**He must laugh, looking at our miserable four dimensional structures.
**...**But a theoretical physicist, and even a mathematician, are nothing but oriented four dimensional structures. If they were not, they could not distinguish past from future, and the right from the left.
**...**The universe, as a whole, is a four dimensional structure. Let us think about it as a closed object, with locally spherical topology. Call t the time. At a given time we can make a cut, which is a 3d hypersurface.If this last is a hypersphere S3, time makes sens. The vector time crosses this hypersurface and we get no paradoxical situation.
**...**Let us reduce the number of dimensions. Imagine a closed two dimensional world, some sort of space time (x,y,t).
**...**We can cut it at t = constant, then we get a geometrical object whose dimension is 3 - 1 = 2 : a 2d surface. At any point the oriented normal vector figures the arrow of time.
If this space-time can be oriented in time ( we suppose it is closed ) at given time, space is a S2 sphere :
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**...**But suppose the surface representing space is single-sided. Take a Boy surface, for an example ( which is a closed single-sided surface. See the section "Mathematics" of the site ).
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You can build a one just gluying Mbius strips together. I show a one :
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You know that you cannot define an oriented normal vector :
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**...**The two folds cover of a Boy's surface is a sphere S2. If we assimilate our three dimensional space-time to a sets of spheres S2, arranged like russian dolls, each corresponding to a given value of a cosmic time t, we can think (hardly ) to some sort of space-time where antipodal points could be put together. That was the topological structure suggested in the paper :
Jean-Pierre Petit : "The missing mass problem". Il nuovo Cimento B, vol. 109, july 1994, pp. 697-710.
**...**Then we know that antipodal points, located on an "equator" of a sphere can be arranged as the two-folds cover of a Mbius strip :
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We see how this conjugates space-antipodal regions with opposite time's arrows.
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**...**By the way, we see how it would conjugate enantiomorphic objects.
**...**Space is a four dimensional hypersurface. If we can define a cosmic time t, we can make cuts at t = constant and these cuts are 3d spaces. If space is closed, we could assimilate it to a S3 sphere, which can be shaped as the two folds cover of a projective space P3 ( the equivalent of a Boy's surface, in 3d ). This operation would put opposite time's arrow regions into interaction.