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ガリレオ群（時空指向型および完全群）。
この群に対して、異なる名前を提案することができます。
GGSOTO（空間指向型かつ時間指向型ガリレオ群）
または：GSG（特殊ガリレオ群）。
あるいは単に：SG(3,1)：特殊ガリレオ群。
空間次元3、時間次元1。以前、PT群の作用を次のように表したことを思い出してください：
(158)
その後、空間と時間の両方を指向する群に移行しました。同様に、このような群の作用を次のように書くことができます：
(159)
これはより洗練された群の部分群です：
(160)
「空間と時間の両方を指向するガリレオ群」。ここで：
(161)
対応する作用は次の通りです：
(162)
これは1成分（連結）の群です。完全な4成分のガリレオ群の部分群であり、
(163)
P、TおよびPTの対称性を支配しています：
(164)
また、後述するが相対論的立場から、反時系列的な物体の問題も浮上します。
運動。
4次元幾何学的対象は「アニメーションされたホログラム」です。4次元構造において、連続する瞬間での断面を取ることができます。各断面は3次元の対象であり、点 (xi, yi, zi) で構成されます。より単純に、時空内で運動する点状の物体を考えます。このとき、考察対象の時空構造は軌道となり、運動 になります。
...私たちは物理の粒子を点の運動と同一視することにします。それらは「質量点」であるか、あるいは点状のエネルギー（光子、ニュートリノ）です。
...すべての可能な粒子のすべての可能な運動を検討し、それを
(165)
運動空間 に含めることができます。
...
時空において、光子、陽子、中性子、ニュートリノ、反陽子など、すべての可能な軌道を特定できます。無限に多くの位置、速度、その他のパラメータが考えられ、後で明らかになるでしょう。この無限の軌道群の中には、特定の粒子（たとえば電子）に関連するものも含まれます。別の軌道群は光子に該当します。これらは異なり、二つの異なる族を形成し、二つの
異なる種類の運動 となります。
私たちは粒子をどのように分類するかを探ります。そして、運動の種類をどのように定義するかを探ります。
我々はユークリッドの方法に似た手法を使います。中心的な問いは次の通りです：
どのような「対象」が同じ種類に属するのか？
...答え：ある群の部分群である正則性と呼ばれる群の要素による作用によって、互いに重ね合わせられるもの。
...ユークリッドの世界では、球を立方体に変形することはできませんし、その逆も不可能です。これらは異なる種類に属します。球を立方体に、あるいは逆に立方体を球に変形できるような部分群は存在しません。
...同様に、定義すべきある群においても、光子の運動を電子の運動に変換できるような特定の部分群に属する要素は存在しません。これらは本質的に異なり、異なる種類に属します。
もし群の要素が、ある運動を別の運動に変換する作用を持つならば、その二つの運動は同じ種類に属する。それは同一粒子の異なる運動である。
...我々は原子や分子のような多粒子系には立ち入らないことにします。空虚な空間を移動する自由粒子の分析に焦点を当てます。この移動中に、いくつかのパラメータ（質量、エネルギーなど）が保存されます。
しかし、粒子の時空軌道を単純に観察するだけでは、その粒子を特定したり、定義された種類に分類することはできません。
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陽子と中性子は、同じ軌道を同じ速度で移動することがある。
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二つの粒子が v = c で同じ軌道を進むこともあり得るが、一方は光子、他方はニュートリノである可能性がある。
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後に述べるように、同じ方向に光速で同じ軌道を進む二つの光子は異なる場合がある。これらはP対称性を持つ。
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一方は右ねじ型のヘリシティを持つ。
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もう一方は左ねじ型のヘリシティを持つ。
これは光の偏光に対応する。これらは異なる種類に属するのか？ それは選んだ群による。
種類は、与えられた群に依存する。
運動量。
...運動とは、特別な選択肢であり、運動量空間の中の一点です。質量のみが異なる種類の運動を考えます。二つの種類を取る。質量が ma の粒子は、質量が mb の粒子に変換できない。時空において軌道が同一であっても、これらは異なる種類の運動として扱われ、すなわち：
異なる二つの運動の種類（166）
運動量はパラメータの集合：J = { J1, J2, J3, ..., Jn } であり、その一つがエネルギー：J1 = E。
残りの三つ：(J2 = px, J3 = py, J4 = pz) は運動量ベクトル p を構成し、これらは物理学者にとって馴染み深い量です。
...これらの量は、選ばれた群に直接関連する純粋な幾何学的量として現れることがあります。後でわかるように、運動量を構成する量の数は、群の次元に等しい。
...それでは、これから遊ぶゲームのルールとは何か？