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プロジェクト
…我々の出発点は動的群 G である。すなわち、正方行列 g の族である。
…「動的」とは、時間が関係しているからである。
…この群にはある次元 n がある。この群は空間 X に作用することができる。X には自らの次元がある（これは群の次元とは無関係である。群の次元とは、群 G を構成する各行列 g を定義する独立パラメータの数である）。
…さて、我々は群が作用する空間、すなわち「運動量空間」を定義するための「作用」が必要となる。この空間は、粒子が移動するとされる時空ではない。このような空間を構築することは、まるで気分の錯乱した土地へと導く。しかし、もし貴方がこの道を進むならば、これまでにないほど物理的現実に近づくことになる。
…我々が遊び場となる空間と、作用する対象となる作用を手に入れたら、運動量-運動を種類に分類し、それらの種類を素粒子に対応させることができる。
…前述したように、SO(2) および O(2)、また SO(3) および O(3) に対応する群とベクトルの積は、作用として機能する：g × r
すなわち：
(166b)
ここで、次のようにも書けることに注意せよ：
(167)
オriented Euclid 群および完全 Euclid 群に対しては、次のような作用を定義する必要がある：
(168)
しかし、これらの作用、あるいは動的群が空間に与える対応する作用、たとえば：
(169)
は…何も生まない。それらは単に物体を空間や時空、あるいはより洗練された空間（5次元空間、10次元空間など）内を移動させるだけである。
我々は「群の下に隠されたもの」を探さなければならない。すなわち、すべての行列群が持つ運動量空間と、その
運動量空間への共随作用
であり、これが現実の物理学に対応する。
物理学とは何か？
…良い質問である。フランスの数学者ジャン＝マリー・スリアウは、1970年代初頭に群がその運動量空間に与える共随作用という概念を考案し、それを証明した。この点については後述する。
…もちろん、物理学者は計算が終わると、次のように尋ねるだろう：
「なぜ？」
…言い換えれば、これは機能するが、動的群がその運動量空間に与える共随作用という概念に、物理的な意味を与えることは可能だろうか？答えは、おそらく「いいえ」である。
…アリストテレスの弟子だと想像してみよう。突然、直感を得て、それを名付ける新しい語を考案する：
慣性。
…アリストテレスがやってくる。他の生徒たちから、貴方が何か新しいものを発明したと聞かされ、こう尋ねる：
「『慣性』とは、いったい何を意味するのですか？」
アリストテレスの語彙では、これを説明することはできない。ここに、パラダイムの転換が訪れるのである。
…中世に飛ばしてみよう。四元素の語彙を使って化学反応を説明してみよ。これも不可能である…
群がその運動量空間に与える共随作用は、パラダイムの転換である。物理学に対する新たなアプローチなのである。
実際、物理学者は「不変性」や「保存則」といった話をするとき、常に群の作用を扱っている。
従来型の物理学者は次のように尋ねるだろう：
「共随作用とは、できるだけ簡単な言葉で、一体何を意味するのですか？」
我々はこう答える：
「なぜ、物理では保存則を使うのですか？」
「ええと…エネルギー、質量、電荷といった保存量があるからです…」
「それらが保存されるのはなぜですか？」
「それは基本的な原理ですから…」
「親愛なる友よ、群がその運動量空間に与える共随作用を、基本原理と考えてください。」
「どういう意味ですか？」
「すべての物理学は群構造に基づいている。群を特定すれば、その共随作用と対応する運動量空間を構築できる。その後、運動量の成分が、対応する物理量となる。」
…（沈黙）
注意。もし貴方が物理学者（理論物理学者でも）であり、これから先の内容を読むならば、パラダイムの変容を経験することになるだろう。それ以降、物理学は単に…異なるものとなる。
作用
作用とは何か？
群に関連するもので、以下の公理を満たすものである：
(170)
もちろん、行列群に対しては合成演算は：
x
（行・列行列積）
行列群に対しては次のように書ける：
(171)
列ベクトルを次のように考える：
(172)
ここで、x はたとえばベクトル (173) を表す。
(174)
は作用の公理を満たすだろうか？ G の元 g と g' を考える。
(175)
(175b)
次が成り立つ必要がある：
(176) Ag(Ag'(x)) = Ag''(x)
すなわち：
(177)
結合則により：
(178) g'' = g × g'
これは確かに群の作用である。
…ここで、群 G の元 g を左に置いたことに注意せよ。もし右に置くとどうなるだろうか？その場合は行行列 y と組み合わせる必要がある。
(179) Ag(y) = y × g
これは作用となるだろうか？