a4115
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必要なもの：
(180)
Ag ( Ag'(y)) = Ag"(y)
Ag(y) = y × g
Ag'(y) = y × g'
Ag ( Ag'(y)) = y × g' × g
しかし：
一般に、二つの行列の積は可換ではない。したがって：
(181) Ag(y) = y × g
は群作用ではない：前述の公理を満たさない。しかし、これは「反作用」に対応する：
(182)
行列に関して：
(183)
我々は、作用および反作用の探索を続ける。ベクトル x からその転置を構成し、次のように試みる：
(184)
これは作用か？検証してみよう。
g" = g × g'
(185)
(186)
ここでは線形計算の定理を用いる：
(187) M⁻¹ × N = ( N × M )⁻¹
ここで M と N は任意の (n,n) 行列である。よって：
(188) g'⁻¹ × g⁻¹ = ( g × g' )⁻¹ = g"⁻¹
そして：
(189)
これは確かに群作用である。次に以下のものを考える：
(190)
Ag(m) = g × m × g⁻¹
これが作用であることを示す。以下の三つの行列を考える。
(191)
g
g'
g" = g × g'
Ag(m) = g × m × g⁻¹
Ag'(m) = g' × m × g'⁻¹
Ag"(m) = g" × m × g"⁻¹
次を確認する必要がある：
(192) Ag(Ag'(m)) = Ag"(m)
左辺を計算する：
(193) g × (g' × m × g'⁻¹) × g⁻¹
すなわち：
(194) g × g' × m × g'⁻¹ × g⁻¹
つまり：
(195) (g × g') × m × ( g × g' )⁻¹ = g" × m × g"⁻¹
これは確かに群作用である。これをソリアウにちなんで、
随伴作用と呼ぶ：
(193)
次に、群が行列 m に対して「反作用」を定義する。
(194) AAg(m) = g⁻¹ × m × g
これが満たすことを示す：
(195) AAg'(AAg(m)) = AAg"(m)
左辺を計算する：
(196) g'⁻¹ × (g⁻¹ × m × g) × g
すなわち：
(197) g'⁻¹ × g⁻¹ × m × g × g'
つまり：
(198) (g × g')⁻¹ × m × ( g × g' )
すなわち：
(199) g"⁻¹ × m × g"