a4116
| 16 |
|---|
必要なもの：
双対作用。
上記で、次の作用を構成した：
(200)
および反作用：
(201)
前者は任意の列ベクトル m に対応する：
(202) m' = g x m
後者は任意の行ベクトル n に対応する：
(203) n' = n x g⁻¹
m は特定の空間 M に属する。
n は別の空間 N に属する。
スカラーを定義する：
(204) S = n m ここで注意すべきは：
(205) n' m' = n x g⁻¹ x g x m
... ここで、考察している二つの作用は双対的であると言う。同様に、m と n が属する空間 M と N も双対空間であり、N = M* または M = N* となる。
一般的に、m がベクトルであるとき、n はその共ベクトル（covector）と呼ばれる。
接頭語「co-」は双対性を特徴づけるものである。スリアウが指摘したように、政治においても双対性は存在し、彼は次のように付け加える：
- マルクス・レーニン主義の当初から双対性は存在していた。共産主義者と「ムニスト」（munist）を考えてみよう。
別の視点を取ろう。ある作用が与えられたとして、その双対作用を構成したいと仮定する。
概略的に：
(206)
... 列ベクトル m とのスカラー積を形成するためには、n は行ベクトルでなければならない。したがって、これらの二つのベクトルは同じ数のスカラーによって定義されなければならない：
(207)
その後、双対作用を求める：
(208)
n' = Ag( n ) となるようにする。その結果、スカラー積：
(209)
が不変となるようにする必要がある。すなわち：
(210)
n' m' = n m ここで：
(211) m' = g x m
(212) Ag( n ) x g x m = n m
この式の解は：
(213) Ag( n ) = n x g⁻¹
群の「運動量空間」における基本作用、すなわち共随作用の構成へ（スリアウに従って）。
群がその「運動量空間」上で作用する方法を求める。この作用は反作用の双対として構成する：
(214) AAg( m ) = g⁻¹ x m x g
... 前節では m はベクトルであったが、(214) では行列である。ここでは、ある数のパラメータ { m₁, m₂, ..., mₙ } に依存する行列を取る。
そのために、双対的なスカラーの集合 { n₁, n₂, ..., nₙ } を想定する必要がある：
(215)
概略的に：
(216)