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行列 m の選択
…群 G はある種の曲面に類似している。それは特定の数のパラメータに依存する。群のパラメータ空間を P とし、この空間の点を p とする。これらのパラメータ pi の個数が群の次元である。
(217)
示されたもの：単位元 e（単位行列 1）。
ここで d p という増分を与えることができる：
(218)
…次に、群の要素である行列 g を微分する。得られるのは正方行列 dg であり、これは群に属さない。これを「群に対する接ベクトル」と呼ぶ。これらの接ベクトルは、いわゆる「リー代数」を形成する（実際には代数ではないが）。
私たちは単位元の近傍で微分することを選ぶ：
(219)
そして以下の反作用を選びます：
(220) AAg(m) = g⁻¹ x dg(g=e) x g
注意：
なぜ我々は g = 1 における群の接ベクトルを選ぶのか？
…より一般的な形として、群の任意の点における接ベクトル dg を使うことも可能である。同じ結果が得られるが、計算ははるかに煩雑になる。
群の次元は n である。行列 g は n 個のパラメータ { pi } に依存する。
リー代数の要素 dg(g=e) も同じ数のパラメータ { d pi } に依存する。
上記の反作用の計算により、次の写像が得られる：
(221) { d pi } -----> { d pp'i }
同じ数のスカラー { J i } を導入する。
この集合を群の「運動量」J と呼ぶ。J = { J i }
これは n 個の量、すなわち n 個のスカラーからなる集合である。場合によっては行列として表現できる（ポアンカレ作用における運動量）。
{ J i } は群の接ベクトルに対する余接ベクトル { d p i } である。双対性により：
(222)
この内積の保存から、もし写像
(223) { d p i } -----> { d p' i }
が分かれば、その双対写像を構成できる：
(224) { J i } -----> { J 'i }
これは我々が求める本質的な作用であり、スリアウはこれを「群の運動量空間上の余随伴作用」と呼ぶ。
この概念を最もよく説明する方法は例を与えることである：
ポアンカレ群の運動量空間 Jp における余随伴作用。
以前に一般化されたローレンツ群を提示した。以下のように選ぶ：
(225)
すると、要素 L が公理的定義に従うローレンツ群 L が得られる：
(226)
時空ベクトルは (227)
c = 1 とすると、基本的な二次形式、ミンコフスキー計量が得られる：
(228)
逆行列は (229)
ここに時空の平行移動を導入する：
(230)
これにより、ポアンカレ群 Gp の要素 gp を次のように構成する：
(231)
問題：これが群をなすことを示し、逆行列を計算せよ：
(232)
リー代数の要素は (233)
そして反作用は：
(234) dgp' = gp⁻¹ x dgp x gp
ここで
(235) G d L
が反対称行列であることに注意する。これを以下のように呼ぶ：
(236)
したがって：
(237)
すなわち：
(238)
これにより、反作用を構成できる：
(239) dgp' = gp⁻¹ x dgp x gp
これにより次の写像が得られる：
(240)
(240b) (240c)
これが求める写像である：
(241)