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スピンを持つ粒子。
...ポアンカレ群は点状物体の相対論的運動を記述する。同様にバーグマン群は非相対論的運動を記述する。運動量の成分は純粋な幾何学的量として現れる。これは「物理学の幾何化」である。物理学者はエネルギーEと運動量ベクトルpには馴染みがあるが、残りの二つの量、すなわち「通過量」fとスピンベクトルlにはやや戸惑うかもしれない。運動量成分の形は座標系の選択に依存する。...各動的群にはそれぞれの運動量空間と、その空間への随伴作用（共随伴作用）が存在する。もし最初に相対論的世界（ポアンカレ群）ではなく、非相対論的世界を選択していたならば、バーグマン群に依拠しなければならなかっただろう。計算の詳細については、私の群論に関する講義を参照されたい。バーグマン群は、ガリレイ群の非自明な拡張である：(272)
読者が確認できるように、この群は五次元空間に作用する：
r：空間
t：時間
z：追加の変数。
...このような追加変数に関する問題については後で取り上げる。本サイトでは、ポアンカレ群の共随伴作用の完全な計算がすでに示されている。同様に、バーグマン群の運動量空間への共随伴作用の計算も導出可能である。皮肉なことに、非相対論的世界における計算は相対論的世界よりもやや複雑である。結果は以下の通りである：(273)
物理学者は、速度：(274)
および運動エネルギー：(275)
といった馴染み深い量を認識することができる。mvは運動量である。相対的な速度とは何に対するものか？群は運動のパラメータを変えるものであり、粒子に速度vと運動エネルギーEを与える。逆の解釈も可能で、群は何か（粒子）に対する特別な観点であると考えることができる。SO(3)群を考えるとき、行列aは「別の角度から見たもの」と意味する。O(3)群を考えるとき、行列aは「鏡を通して『もの』を観察する可能性」を加える。
ユークリッド群の並進ベクトル (276)
は「他所から見たもの」という意味を加える。
動的群において、群に速度vが含まれることは、観測者が移動していることを意味する。時間並進e = Dtは、観測者が一定の遅れの後にその対象を見るということを意味する。並進ベクトルDrと時間遅延Dtは、一つの時空並進ベクトルに統合できる：(277)
式を見てみよう。バーグマン群から得られる結果は：
m' = m
観点がどうであれ、質量は変化しない。
少し観点を単純化し、a = 1と選ぶ。
共随伴作用は次のように変わる：(278)
...共随伴作用は運動パラメータの変化を示す。静止状態から非静止状態へ移行する場合、初期条件は以下のようになる：
E = 0（エネルギーゼロ）
p = 0（運動量ゼロ、速度ゼロ）
「通過量」f = 0
このとき共随伴作用は次のように与えられる：(279)
「考える」という言葉は、語源的な意味で読むべきである。
執行官は言う：「調査と品目リストを作成せよ。」
...静的（v = 0）な視点はユークリッド群に対応する。執行官は距離cのところから物事を観察する。事象が発生した瞬間（Dt = 0）にそれを見る。場合によっては、ある角度（a ≠ 1）から観察する。
...戦場を飛行機で上空から見下ろす将軍は、移動する観点（速度vの飛行機）から物事を観察する一種の執行官である。...しかし、将軍が本部で、数時間前に無人航空機（ドローン）が撮影した映像を見ているとき、「目標を、1時間前の状態（Dt ≠ 0）、移動する観測点（v ≠ 0）から、5000フィートの高度（c ≠ 0）から、速度vで飛行しながら、ある角度（a ≠ 1）で撮影されたものとして考える」と言うのである。
...目標には定まった速度や位置、向きが存在しない。たとえそれが「固定された」建物であるとしてもそうである。すべては相対的である。地球も太陽も、私たちの銀河も、空間中を移動している。
...地球の北極と太陽の北極は23度ずれており、歳差運動により時間とともに変化する（周期26,000年）。太陽が示す北極（自転軸）と、私たちの銀河（天の川）が示す北極は異なる。天の川は独自の回転運動を持っている（90度のずれ）。そもそも銀河自身も時速300マイルで移動している。何に対してか？他のものに対してである。それ以上は何も言えない。群は二つの異なる観点に対応する。
...私が対象が空間と時間に固定され、回転運動も持たないと考えるならば、次のように述べられる：
- 私が距離cだけ離れる場合
- 私が速度vで飛行しながら観察する場合
- 対象からの情報が時間遅延Dtを経て到達する場合
私に対して：
---> 対象の質量は変化しない。
----> 私は対象に運動量mvを与えるが、これは見かけのものとみなす。
-----> 対象は「通過量」f = m[c - vDt]を獲得する。
-----> 対象はスピン（279b）を獲得する。
これをより明確に書くと：(280)
(281)
(282)
または：(283)
スピン行列lの三つの独立成分を、ベクトルの成分として捉えることができる：(283b)
...ベクトル積は我々の空間では定義されていない（すなわち、空間に右・左の向きを与えていない）にもかかわらず、最終的な式をベクトル積と見なすことができる。(284)
...逆向きのvはベクトル積を示している。共随伴作用を表す式の最後の行が対応するものであることがわかる：(285)
lはベクトルではなく行列である。しかし、選ばれた記法に従えば、太字の文字は行列もしくはベクトルのどちらも意味する。
このベクトルは物理学者にとって馴染み深いものに似ている：運動量（運動的角運動量）である。