a4124
| 24 |
|---|
ガリレオ特殊群。
…読者は、スリアウの著書『動的系の構造』（Birkhäuser出版、1997年）およびフランス語版『動的系の構造』（Dunod出版、1973年）でこの拡張を見つけることができる。
…群は拡張することができる。これは、その依存するパラメータ数が増加することを意味する。ガリレオ群が依存するパラメータの数を計算せよ。まず3次元回転行列から始める：
(322)
これは直交行列である：
(323)
これらの行列はSO(3)群を構成し、すべての直交行列からなるO(3)群の部分群である。以下が成り立つ：
(324)
次に以下の違いを思い出そう：
(325) (325b)
は最も一般的な直交行列であり、その行列式は次の関係を満たす：
(326)
この括弧の終わり。
次に、5×5の正方行列群を「ガリレオ特殊群」と呼ぶ：
(327)
回転行列は3つの自由パラメータ、すなわちオイラー角に依存する。したがって、この群の次元は10である。
以下の記法を用いると：
(328)
次の結果が得られる：
(329)
空間時空ベクトル：
(330)
に対応するガリレオ特殊群の作用は：
(331)
…ガリレオ特殊群が与えられたとき、その運動量空間への群の作用を計算することが可能である。ここではその計算を示さない。読者は、私が提供している群論の講義資料でこの計算を見つけることができる。
結果を提示する：
(332)
ここで運動量 p とエネルギー E を認識できる。運動量は以下の通りである：
(333) JSG = { E , p , f , **l **}
…10個のスカラー量。群の次元は10。まだ、移動ベクトル f と反対称スピン行列 l（独立な成分 lx, ly, lz の3つからなり、「スピンベクトル」となる）が存在する。
ガリレオ特殊群の自明な拡張。
以下の行列は新たな群を形成する：
(334)
これにより、新たなスカラー成分 f、すなわち「フェーシス」（量子世界に関連）が導入される。群の次元は10 + 1 = 11に増加する。
この新しい群は5次元空間上に作用する：
(335)
zは「追加次元」として導入される。これは1921年にポーランド人であるカールツァによって初めて提案され、その後1964年にJ.M.スリアウによっても（『幾何学と相対性』Hermann出版、英訳なし）再考された。
ここでも、群の運動量空間への対応する共随作用を計算できる。その結果は以下の通りである：
(336)
運動量は次のように変化する：
(337) JTESG = { m , E , p , **f **, **l **}
…新たにスカラー量 m が1つ加わり、これを質量と同一視する。ガリレオ特殊群が時空上に作用するとき、エネルギーは運動量の成分として現れるが、質量は含まれないことがわかる。現在（自明な拡張により）、我々の粒子は非常に任意に質量と同一視される追加属性を獲得し、他の運動量成分とは相互作用しない。