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ガリレオ特殊群の非自明な拡張
バーグマン群 (1960)
以下の行列（私のグループに関する講義を参照）
(338)
は、1960年にバーグマンによって発見された群を形成する。ここでも、これは5次元空間上で作用する。その次元は11であり、スカラーfの存在によりそうである。これは、ガリレオ特殊群の非自明な拡張である。
(339)
群のコアドイン作用をそのモーメントに計算すると、次のようになる：
(340)
...このコアドイン作用はより詳細であり、質量がモーメントの他の成分と相互作用することを示している。これについては上記で分析しており、モーメントの成分に物理的意味を与える方法を示した。
...モーメントは特定の粒子の運動を表す。バーグマン群は非相対論的な運動を記述する。静止状態で、エネルギーも運動量もスピンも持たない粒子を考えることができる。ただ非ゼロの質量を持つだけである：
m
**p **= 0
E = 0
**f **= 0
**l **= 0
バーグマン群の以下の要素を使用する：
(341)
モーメントの成分は次のようになる：
(342)
...粒子に固定された座標系では、**f **は依然としてゼロである。スピン行列が運動量に一致することを示した。
...ここでの重要な点は、ガリレオ特殊群の自明な拡張（なぜ「特殊」か？これは後で説明する）を検討することである。この自明な拡張を行うと、モーメントに追加のスカラーがただ一つ加わるだけである。
では、ポアンカレ群の拡張を検討してみよう：
ポアンカレ群の中心的拡張。 (343)
「ep」は「拡張されたポアンカレ群」を意味する。Loは、完全なローレンツ群Lの正時性部分群Loの要素である。したがって、上記の要素は、完全な拡張されたポアンカレ群の正時性部分群Gepoとして考えることができる。その要素は次のようになる：
(344)
この2つの群は5次元空間上で作用する：
(345) ( t , x , y , z , z )。
この拡張では、1とfの間で0 = ( 0 0 0 )の代わりに、最初の行にゼロでない項を含めることはできないことが示される。
...J.M. Souriauが示したように、幾何的量子化法（Kostant-Kirillov-Souriau法）により、バーグマン群からシュレーディンガー方程式を、拡張されたポアンカレ群からクライン-ゴルドン方程式を導くことができる（『構造の動的システム』、Dunod出版社、1972年）。さらに、この群の中心的拡張は、バーグマン群の自明な拡張と同様に、モーメントに追加のスカラーを加える：
(346)
Jep= { c , M , P } = { c , Jp }
Jpはポアンカレ群の古典的モーメントを表す。したがって、モーメントのコアドイン作用は単純に次のようになる：
(347)
計算は複雑ではなく、上記で提示されたものと類似している。反作用を計算する：
(348)
その後、双対性は次のスカラーの定数性によって表される：
(349)
...これにより、コアドイン作用によって単純に保存される追加のスカラーcが得られる。このスカラーは以降物理的解釈を受けていなかった。以降でこれを明確にする。明らかに、この群を任意の回数だけ拡張することができる：
(350)
毎回、追加のスカラーが加わる
(351) Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., M , P } Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., Jp } そしてコアドイン作用は次のようになる：
(352)
読者は「では、なぜ57個の新しいスカラーを加えないのか？」と尋ねるかもしれない。
単純に6つを加え、これらの新しいスカラーを次のように特定する：
(353)
c 1 = q (電荷)
c 2 = cB (バリオン数)
c 3 = cL (レプトン数)
c 4 = cm (ミューオン数)
c 5 = ct (タウ数)
c 6 = v (磁気回転係数)
この群は次の10次元空間上で作用する：
(354) ( x , y , z , t , z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 )
つまり、時空に加えて6つの追加の次元である。
(355)
この群が完全なローレンツ群Lの正時性部分群
Lo = Ln (中立成分) U Ls (空間反転に対応する)
から構成されていることを思い出そう。
モーメントは次のようになる：
(356)
Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp }
Jpはポアンカレ群Gop（正時性部分群）に対応するモーメントの一部である。
物理的意味は何か？
...モーメントは、n次元多様体である空間に属する。ポアンカレ群は10次元を持つため、ポアンカレ群のモーメントは10の量から構成される。
その後、この群に6つの追加の次元を加え、追加の位相に対応する：
(357)
f1 ,f2 ,f3 ,f3 ,f5 ,f5
モーメントは次のようになる：
(358) Jpe = { J1, J2 J3, J4, J5, J6, J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
私たちは次のスカラーの集合
(359) Jp = { J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
からエネルギーE、運動量p、通過f、スピンの反対称行列lを特定する。
...Eとpはすべての可能な値を取り得るが、量子論的な議論により、粒子に固定された座標系ではスピンベクトルのモジュールsの定数性が要求される。これはここでは正当化されておらず、Souriauの仕事に該当する。
6つの追加のスカラーがある：
(360) J1, J2 J3, J4, J5, J6
...無限の選択肢の中から、いくつかの離散的な選択が実際の粒子（および反粒子）に対応すると決定する。したがって、モーメント空間に相当する16次元多様体において、定義された量子数
(361) { q , cB , cL , cm , ct , v }
を持つ粒子に対応する離散的な運動を選び出す。
...現在のところ、群のコアドイン作用は与えられた運動に沿ってこれらの量の保存を保証するだけである。また、質量はガリレオ特殊群の自明な拡張から生じるとき、受動的な量として現れる「受動的な量子数」もある。