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粒子と反粒子の動物園。
…粒子は種であるが、運動量空間には特別な運動や特別な種も存在する。次の2つの動物園を構築できる：
(362)
これらの2つの動物園から、対応するモーメントを書くことができる：
(363) Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp }
Jj = { 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , Jp } : 光子
Jp = { 1 , 1 , 0 , 0 , 0 , vp , Jp } : 陽子
Jn = { 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , vn , Jp } : 中性子
Je = { -1 , 0 , 1 , 0 , 0 , ve , Jp } : 電子
Jne = { 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , vne , Jp } : 電子ニュートリノ
Jnm = { 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , vnm , Jp } : ミュー粒子ニュートリノ
Jnt = { 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , vnt , Jp } : タウ粒子ニュートリノ
…このようなやり方で、私たちはあらかじめ2つの異なる動物園、つまり物質の種と反物質の種を構築した。いかなる群の作用も、粒子を反粒子に変換することはできない。
すべては次の動的群に基づいている：
(364)
運動量とは何か？
…ポアンカレ群を構築する際、ローレンツ群の要素 L を、まず「ミラー」行列 G を用いて定義したことを思い出そう：
(365)
(366)
これは、ミンコフスキーの計量という二次形式に関係している。
(367)
…ミンコフスキー計量は、空の空間に適用される。私たちの群は、複数の粒子が相互作用するシステムではなく、単独の粒子を記述している。粒子の運動は、ミンコフスキー時空の測地線であり、直線である。質量ゼロの粒子の場合、これは「長さゼロ」の測地線に相当するが、粒子の運動を時空内の直線として表現することは誤りではない。
(365b)
…運動量空間を構成するすべての点は、すべての可能な粒子の種のすべての可能な運動を表している。群の作用（共随伴作用）は、動的群 G の与えられた要素 g を基に、一つの運動を別の運動に変換する。
(366b)
(367b)
…上の図では、群の要素が電子の与えられた運動を、同じ種の別の運動に変換する方法が示されている。しかし、共随伴作用と群の要素を用いても、電子の運動を中性子の運動や光子の運動に変換することはできない。運動空間は、それぞれが特定の種の可能なすべての運動を表す部分集合に分けられている。
…上記で見たように、完全なポアンカレ群は負エネルギーの粒子をもたらす。したがって、今後これを排除しないのであれば、2つの異なる部分空間を考慮しなければならない：
(367b)
オリジナル版（英語）
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Particles and anti-particles' zoos.
...Particles are species, but there are also peculiar movements and peculiar species in the momentum space. We can build the following two zoos :
(362)
From these two zoos we can write the corresponding moments :
(363) Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp }
Jj = { 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , Jp } : photon
Jp = { 1 , 1 , 0 , 0 , 0 , vp , Jp } : proton
Jn = { 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , vn , Jp } : neutron
Je = { -1 , 0 , 1 , 0 , 0 , ve , Jp } : electron
Jne = { 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , vne , Jp } : electronic neutrino
Jnm = { 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , vnm , Jp } : m neutrino
Jnt = { 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , vnt , Jp } : t neutrino
...Doing this, we have created a priori these two different zoos : species of matter and species of anti-matter. We have no group's action which make possible to transform a particle into an antiparticle.
All that is based on the following dynamic group :
(364)
What is the momentum ?
...Remember : when building the Poincaré's group, we started from the Lorentz group element L , which was axiomatically defined, using a "mirror" matrix G :
(365
(366)
This being linked to a quadratic form : the Minkowski metric.
(367)
...A Minkowski metric refers to an empty space. Our group decribes lonely particles, not interacting systems of several particles. The movement of a particle is a geodesic of Minkowski space : a straight line. If it is a zero mass particle it corresponds to a "zero-length" geodesic, but it is not a wrong image to figure the movements of particles as straight lines in space time.
(365b)
...The set of points composing the momentum space represents all the possible movements of all possible species of particles. A group's action (coadjoint action), based on a given element g of the dynamic group G changes a movement into another movement.
(366b)
...On the above figure we see how an element of the group makes possible to transform a given movement of an electron into another movement of this same species. But, through coadjoint action and elements of the group we could not transform the movement of an electron into the movement of a neutron, or of a photon. The movement space is divided into sub-sets, each refering to all possible movements of a given species.
...We have seen above that the complete Poincaré group gives negative energy particles. Then, if now we do not refuse to deal with, we must consider two distinct sub-spaces :
(367b)