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ディラックの反物質の幾何学的記述。
…ここで l = –1 が cᵢ の符号を変えることがわかる。これは 電荷共役、すなわち C対称性 に対応する。
これにより、ディラック以降の反物質（正エネルギー、正質量）の幾何学的記述が得られる。
…もちろん、C対称性は光子に影響を及ぼさない。なぜならそのすべての電荷が本質的にゼロだからである。光子は自らの反粒子と同一視される。
ファインマンの反物質の幾何学的記述。
…この理論はPT対称性を持つと想定されている。どのようにしてこのPT対称性を群に導入するのか？
参照：J.P. Petit および P. Midy: 「群の余随伴作用による物質および反物質の幾何化。3：ディラックの反物質の幾何学的記述。ファインマン以降の反物質に対する最初の幾何学的解釈および仮定されるCPT定理」。Geometrical Physics B, 3, 1998.
その後の群の修正は以下の通りである：
(388)
…これはローレンツ群の正時的成分が2つの連結成分を持つため、2 × 2 × 2 = 8 の8成分群となる。
すなわち、反時的 元素を追加することを意味する：
(389)
上図：群に反時的元を追加している。
下図：負エネルギー運動に対応する運動量空間の半セクターを追加している。
要するに：作用範囲を拡張し、以下のようにする：
(390)
(388) において、(m = –1) の元が時空を反転させ、PT対称性を実現し、次のように対応する：
(391) Lst = – Ln Lt = – Ls
これにより運動量空間内に以下の対称性が得られる：
(392)
群(388)の運動量空間への余随伴作用の計算から、次の結果が得られる：
(393)
…これにより、各成分が運動量および運動に与える影響を容易に検討できる。ここでは正エネルギー物質に対応する基準の運動および運動量 J+1 を考える（正エネルギー光子への影響は後で分析する）。群の選択された成分のセクターは灰色で示される。
次に、通常の物質の運動を検討する。
l = +1, m = +1
l m = +1
電荷は変化しない。運動M2は正質量（E > 0）の正時的物質に対応する。
(394)
通常物質の運動。l = 1 の正時的群要素による作用。 電荷は不変。 (395)
群の要素（l = –1；m = +1）の、通常物質の運動に伴う運動量への余随伴作用：新たな運動はディラックの反物質に対応する。
…この要素は灰色セクターから選ばれる。これは「反要素」として、物質を反物質に変換するものである：l = –1 は追加次元の符号を反転させ、これが我々の反物質に対する幾何学的定義となる。
元の英語版
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Geometric description of Dirac's anti-matter.
...We see that** **l = - 1 changes the signs of the ci 's , which corresponds to a charge conjugation , a C-symmetry.
This groups gives a geometrical description of anti-matter after Dirac ( positive energy, positive mass anti-matter ).
...Of course the C-symmetry does not change the photon, for all its charges are basically zero. It identifies with its own antiparticle.
Geometric description of Feynmann's anti-matter.
...This one is supposed to be PT-symmetrical. How to introduce the PT-symmetry in the group ?
See : J.P.Petit and P.Midy : " Geometrization of matter and anti-matter through coadjoint action of a group on its momentum space. 3 : Geometrical description of Dirac's anti-matter. A first geometrical interpretation of anti-matter after Feynmann and so-called CPT-theorem". Geometrical Physics B, 3 , 1998.
The subsequent modification of the group is the following :
(388)
...It becomes an eight components group, for the orthochron part of Lorentz has two connex components, so that 2 x 2 x 2 = 8.
It means that we add the antichron elements :
(389)
Above : we add the antichron elements to the group.
Below : we add the corresponding half sector of the momentum space corresponding to negative energy movements.
In a word : we extend the playing field, which becomes :
(390)
On (388) we see that ( m = - 1 ) elements reverse space-time, achieve PT-symmetry and correspond to :
(391) Lst = - Ln Lt = - Ls
We have the following symmetries in the momentum space :
(392)
The calculation of the coadjoint action of the group (388) on its momentum gives :
(393)
...It becomes easy to examine the impact of each component on momentum and movement. We shall consider a reference movement and momentum J+1 , refering to positive energy matter ( the impact on positive energy photons will be analysed in a second step ). The sector of the group in which the element is chose will be grey.
Next, the movements of ordinary matter.
l = +1 m = +1
l m = +1
The charges are unchanged. The movement M2 refers to (E>0), positive mass, orthochron matter.
(394)
Movements of ordinary matter. Action of orthochron elements of the group, with l = 1. Charges unchanged. (395)
**Coadjoint action of a ( **l = -1 ; m = 1 ) element of the group on the momentum associated to the movement of normal matter : the new movement corresponds to Dirac's anti-matter.
...The elements is picked in the grey sector. It corresponds to an "anti-element", which transform matter into anti-matter : l = - 1 reverse the signs of the additional dimensions, which is our geometrical definition on antimatter.