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解決策は何か？
...J.M.ソリアウが示唆するように、神が無限の知恵を持って負の質量およびエネルギーを持つ粒子を創造せず、物理学者が反時刻要素を使用することを阻止しなかったならば、理論はPT対称性およびCPT対称性を取り扱うことができない。
我々は以下の文献において代替的な解決策を提示する：
J.P.ピエとP.ミディ：「群の余随伴作用による物質および反物質の幾何化。4：双子群。ディラックの反物質の幾何的記述。ファインマン以降およびいわゆるCPT定理に関する反物質の幾何的解釈」。幾何物理学B, 4, 1998.
...正のエネルギー粒子と負のエネルギー粒子の衝突を回避するため、進化空間を二つの折り畳みに分割し、群の正時部分群による商を形成する。これにより双子幾何が得られる。
我々は折り畳みのインデックス f = ±1 を導入する。
f = +1 は折り畳みFに対応する。
f = -1 は折り畳みF*に対応する。
双子群は：
(400)
...依然として8つの成分を持つ群である。m = -1 の要素、すなわちPT対称性に対応するものには、折り畳みの入れ替え f → -f が伴うことがわかる。
...運動量空間は依然として4つの領域から構成されるが、負のエネルギー領域はF*の折り畳みにおける粒子の運動に対応する。
(401)
以下の対称性が成立する：
(402) これで新しい「ゲームフィールド」を定義できる。(403)
ゲームフィールド：二つの折り畳み（FおよびF）を持つ空間と、二つの領域（E > 0 および E < 0）を持つ運動量空間。*
(404)
通常物質の運動。l = 1 の正時要素による群の作用。電荷は変化しない。
群の要素（l = -1 ; m = 1）による、通常物質の運動に対応する運動量への余随伴作用：新しい運動はディラックの反物質に対応する。
...図において、線M1は通常の正時物質の運動を表す。我々の群は重力場や電磁場といった力場を考慮しないため、直線で表現している。これは孤立した荷電質点粒子の振る舞いのみをモデル化する。
グレー領域にある要素（l = -1 ; m = 1）を選択する。l = -1 によりすべてのziの符号が反転し、負になる。新しい経路は第二領域にあり、反物質に対応する。lm = -1 であるため電荷は反転するが、時間の逆転がないため、粒子のエネルギーおよび質量は正のまま残る。
これはディラック以降の（正時）反物質の幾何的記述である。
...残りの二つの領域も検討する必要がある。第三領域では、(l = -1 ; m = -1) 要素が運動量および運動に与える影響を検討する。
l = -1 により{zi}の符号が反転する。我々の幾何的定義によれば、この新しい運動は第二領域 {z1,z2,z3,z4,z5,z6,x,y,z,t} の空間内での運動であるため、反物質に対応する。
m = -1 によりPT対称性が得られ、(x,y,z,t)の符号が反転する。
しかしlm = +1 であるため、電荷は変化しない。
これは「PT対称な反物質」であり、ファインマン以降の反物質の幾何的記述である。
運動は空間の第二領域でF*の折り畳み内に進行する。
(406)
(l = -1 ; m = -1) 要素は、通常物質の運動を、時間逆走するPT対称な物体の反物質（z対称性）の運動へと変換する。ファインマンによる反物質の視覚的記述の幾何的表現である。ディラックの説明とは完全に一致しない：負の質量および負のエネルギーを含む。
最後の要素は領域(l = 1 ; m = -1)に対応する。
l = 1 → 運動は依然として物質領域に存在する。
z対称性なし。
m = -1 → PT対称性が伴う。粒子は時間逆走する。
l = -1 → C対称性。電荷が反転する。
...これはCPT対称な物質であり、いわゆる「CPT定理」の幾何的解釈に対応する。この定理は、粒子のCPT対称なものは元の粒子と同一であるべきだと主張しているが、これは正しくない。この運動は反時刻運動に対応する。粒子は時間逆走するため（余随伴作用により）、質量およびエネルギーは負になる。
...通常粒子のCPT対称な粒子の運動はF*の折り畳み内で進行する。
(407)
(l = 1 ; m = -1) ケース。CPT対称性に対応するが、余随伴作用により質量およびエネルギーは負になる。通常物質の粒子のCPT対称なものは物質粒子であるが、負の質量を持つ。