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メトリックに関するいくつかのコメント。
群のすべての要素は、次の関係を満たす完全ローレンツ群の要素から構成される：
(412)
ここで
(413)
この最後の行列は、次のメトリックと関連している：
(414)
…したがって、二つの折り目（フォールド）は同じ符号を持つ。もしこれらをミンコフスキー空間とみなすならば、そのメトリックは同一となる。しかし、時間の矢印は逆向きである。
二つの折り目、すなわち二つの宇宙を記述するためには、各自が独自の時間の矢印と空間の向きを選択しなければならない。
…物質と反物質の二重性は、両方の折り目で成立していることが明らかである。第二の折り目を「双子折り目」（A.サハロフ）、「影の折り目」（グリーン、シュワルツ、サラム）あるいは「幻の折り目」（著者の選択）と呼ぶならば、この第二の折り目における時間の矢印は逆向き（T対称性）であり、空間構造はエナントイモル（P対称性）となる。これはサハロフの予測通りである。
…第二の折り目において、物質は我々のものに対してCPT対称である。したがって、この折り目では陽子は負の電荷を持ち、電子は正の電荷を持つ。
…逆に、この折り目の反電子は我々のものに対してPT対称であり、負の電荷を持つため、第二の折り目の反陽子は正の電荷を持つ。
…要するに、第二の折り目は我々のものに対してCPT対称である。アンドレイ・サハロフが示唆したように、この折り目ではパリティの破れが逆転している可能性がある。もし我々の折り目における反物質の不在が、パリティの破れの直接的な結果であるならば、その非対称性は別の折り目では逆転している可能性がある。
**
相互作用する折り目。**
…私たちの天体物理学および宇宙論（『幾何学的物理学A』を参照）におけるすべての研究は、次の二つの結合された場の方程式系から導かれる：
(10) **S *= c ( T - T )
(11) *S *** = c ( T - T )
…二つのマイナス記号は、事前に仮定されたものである。このグループ理論に基づく研究の結論として、その説明が浮かび上がる。二つの折り目は、群構造から生じる制約を満たすために、時間の矢印が逆向きで、エナントイモル（鏡像）である必要がある。
…したがって、別の折り目に存在する物質は、第一の折り目にいる観測者から見ると、負の質量を持つように見える。これは共随伴作用とT対称性によるものである。
結論：
…「幾何学的物理学B」として知られる、群論に割り当てられたサイトの部分は、天体物理学および理論宇宙論に捧げられた第一の部分を補完する。群論は研究の出発点を提供する。
…素粒子の幾何学化には、完全なポアンカレ群の多重拡張が必要となる。反物質も幾何学的に記述される。物質粒子のCPT対称性は、負の質量とエネルギーのため、通常の物質とは同一視できなくなる。同様に、物質粒子のPT対称性も、ディラックの反物質とは同一視できなくなる。負のエネルギー種（CPTおよびPT対称）の存在は、物質と反物質の二重性が成立する二重折り目幾何学を必要とする。この幻の折り目の物質は単にCPT対称であり、通常の物質粒子の反物質はPT対称である。