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3 - 群論の第3公理：
群の任意の要素は、その逆元を有しなければならず、これは g⁻¹ と表記され、以下のように定義される：
(15)
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
我々の例では：
(16)
すなわち、b = -a または：
(17)
g⁻¹(a) = g(-a)
ここで、逆行列の計算は自明である。
与えられた正方行列が逆元を持つための条件は何か？
...任意の正方行列には、行列式と呼ばれるスカラーを対応させることができる。定義については、線形代数に関するあらゆる書籍を参照されたい。この行列式は det(g) と表記される。
さらに、以下の一般的な定理がある：
det(g₁ × g₂) = det(g₁) × det(g₂)
対角行列の行列式は：
(18)
したがって：
det(1) = 1
なぜなら、1 は対角行列だからである。
行列の逆元の定義より：
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
ゆえに：
(19)
det(g × g⁻¹) = det(g) × det(g⁻¹) = 1
...もし det(g) = 0 ならば、条件 (19) は満たすことができない。固有の要素がゼロ行列式を持つ行列の集合は第3公理を満たさず、群を形成することができない。
なお：
(20)
4 - 群論の第4公理：
乗法は結合法則を満たさなければならない。すなわち：
(21)
(g₁ × g₂) × g₃ = g₁ × (g₂ × g₃)
行列の乗法は基本的に結合的である。
群の次元：
...後述するように、群は列ベクトルによって点が記述される空間に作用する場合がある。例として、時空の点（「事象」と呼ばれる）：
(22)
...これは4次元空間である。異なる群がこれに作用し得る。しかし、群の次元は、それが作用する空間の次元とは何の関係もない。
群（行列の群）の次元は、これらの正方行列を定義するパラメータの数である。
我々は、単一のパラメータ a によって定義される行列の例を挙げた。
したがって、この群の次元は1である。
注意すべきは：
(22-bis)
備考：
すべての行列群が可換であるわけではない。我々が研究した群はこの性質を有しているが：
(23)
もしこのような群が2次元空間に対応する列ベクトルに作用する場合：
(23 bis)
これは平面内の固定点まわりの回転に対応する：
(23 ter)
この演算は明らかに可換である。
あなたは「すべての回転群と同様だ」と言いたくなるかもしれない。
...それは誤りである。ある点Oを通る軸まわりの回転を考えよ。異なる軸まわりの2つの連続した回転を合成せよ。これは可換ではない。
練習問題：直交座標系 (OX, OY, OZ) を用いて、これらの軸まわりの回転の合成が可換な演算ではないことを示せ。任意の物体を用意せよ。
- OXまわりに+90°回転させ、続いてOZまわりに+90°回転させる。
初期状態に戻り：
- OZまわりに+90°回転させ、続いてOXまわりに+90°回転させる。
結果を比較せよ。
群の作用。
...群Gは正方行列 g から構成される。これらは乗算可能である。群は自身に作用すると言うことができる。
群はまた、列ベクトルによって記述される点からなる空間にも作用し得る。例：
(24)
以下のように書けば：
(25)
この空間に対する群の作用は以下のようになる：
(26)
g × r
...この特殊な場合、空間への作用は単なる行列の乗算と同一視される。しかし、作用という概念ははるかに一般的である。
