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補足：時空の向き付け
... 2次元の世界では、幾何学的対象を文字にみなしました。3次元の世界では、それらは「右手」と「左手」にみなされました。
4次元の構造は、動くホログラムにみなされました。
... 5次元の構造や10次元の構造とは、いったい何なのでしょうか？ 時折、神を羨ましく思うことがあります。あなたはどうですか？
... 神は、私たちの哀れな4次元の構造を見て、きっと笑っているのでしょう。
... しかし、理論物理学者も、数学者でさえ、向き付けられた4次元の構造に過ぎません。もしそうでなければ、過去と未来、右と左を区別することができないからです。
... 宇宙全体は、4次元の構造です。これを局所的に球状の位相を持つ閉じた対象だと考えてみましょう。時間を t とします。ある時刻で切断すると、それは3次元超曲面となります。この超曲面が超球面 S3 であれば、時間には意味があります。時間ベクトルはこの超曲面を横切り、逆説的な状況は生じません。
... 次元数を減らしてみましょう。閉じた2次元の世界、ある種の時空 (x, y, t) を想像してください。
... t = 定数 で切断すると、次元が 3 - 1 = 2 の幾何学的対象、つまり2次元曲面が得られます。任意の点において、向き付けられた法線ベクトルは、時間の矢を表現します。
この時空が時間で向き付け可能であれば（閉じていると仮定します）、ある時刻における空間は S2 球面です：
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... しかし、空間を表す曲面が片面のみを持つと仮定しましょう。例えばボイ曲面（閉じた片面の曲面です。サイトの「数学」セクションを参照）を取ってみてください。
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メビウス帯を接着することで、そのような曲面を作ることができます。一つ例を示します：
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向き付けられた法線ベクトルを定義できないことは、ご存知でしょう：
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... ボイ曲面の2重覆面は、球面 S2 です。私たちの3次元時空を、宇宙時間 t の各値に対応する S2 球面の集合（マトリョーシカ人形のように配置されたもの）とみなせば、対蹠点を同一視できるような時空を（困難ながらも）考えることができます。これは、次の論文で示唆された位相的構造です：
Jean-Pierre Petit : "The missing mass problem". Il nuovo Cimento B, vol. 109, july 1994, pp. 697-710.
... また、球面の「赤道」上に位置する対蹠点は、メビウス帯の2重覆面として配置できることが知られています：
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これにより、空間的に対蹠的な領域が、逆向きの時間の矢と結びつく様子がわかります。
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... なお、これにより鏡像異性体がどのように結びつくかもわかります。
... 空間は4次元超曲面です。宇宙時間 t を定義できれば、t = 定数 で切断でき、これらの切断面は3次元空間となります。空間が閉じている場合、それを S3 球面とみなすことができます。S3 球面は、射影空間 P3 の2重覆面として形作ることができます（3次元におけるボイ曲面に相当）。この操作により、時間の矢が逆向きの領域同士が相互作用することになります。
