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ガリレオ群（時空指向かつ完全群）。
この群には様々な名前を提案できる。
GGSOTO（ガリレオ空間指向・時間指向）
または：
GSG（特殊ガリレオ群）。
あるいは、単に：
SG(3,1)：特殊ガリレオ群。
空間3次元、時間1次元。PT群の作用を次のように書いたことを思い出そう：
(158)
次に、空間と時間の指向を持つ群へ移った。同様にそのような群の作用を書くことができる：
(159)
これはより精緻化された群の部分群である：
(160)
「空間および時間指向ガリレオ群」。ただし：
(161)
対応する作用は：
(162)
これは1成分（連結）群である。これは完全な4成分ガリレオ群の部分群である：
(163)
これはP、T、PT対称性を支配する：
(164)
そして反時間的対象の問題も生じる（後で行うが、相対論的根拠に基づいて）。
運動。
4次元幾何学的対象は「動くホログラム」である。4次元構造では、連続する時刻において切断を行うことができる。各切断は3次元対象であり、
(xi,yi,zi)
点からなる。時空を運動する点状対象を考えればより簡単である。すると考慮される時空構造は経路、すなわち運動になる。
…我々は物理学の粒子を点の運動に同化することを決める。それらは「質点」か、あるいは点的エネルギー（光子、ニュートリノ）であろう。
…我々はすべての可能な粒子のすべての可能な運動を考え、それらを
(165)
運動の空間に含めることができる。
…時空において、光子、陽子、中性子、ニュートリノ、反陽子などのすべての可能な経路を見出すことができる。我々は発見されるべき無限の可能な位置、速度、その他のパラメータを考える。この無限の経路の中には、与えられた粒子、たとえば電子に関わる経路がある。他の経路は光子に関わる。それらは異なる。それらは二つの異なる族、二つの
異なる運動種を形成する。
我々は粒子をいかに分類するかを探る。次に運動の種をいかに定義するかを探る。
我々はエウクレイデスに似た方法を用いる。中心的な問いは：
どの「対象」が同じ種に属するか？
…答え：そのような対象の規則性と呼ばれる部分群に属する群の要素の作用によって、一方を他方の上に置くことができるものである。
…エウクレイデスの世界では、球を立方体に、またその逆に変換することはできない。それらは異なる種に属する。球を立方体に、またその逆に変換することを可能にする部分群は存在しない。
…同様に、定義されるべきある群において、光子の運動を電子の運動に変換することを可能にする、ある部分群に属する要素は存在しない。それらは基本的に異なり、異なる種に属する。
群の要素の作用が一つの運動を別の運動に変換するならば、これらの運動は同じ種に関わる。それらは同じ粒子の二つの異なる運動である。
…我々は原子や分子のような多粒子系を扱うつもりはない。我々は空の空間を航行する自由粒子の分析に焦点を当てる。すると、この航行の間、一定数のパラメータ（質量、エネルギー、その他…）が保存される。
しかし、粒子の時空経路の単純な検査だけでは、それを同定し、定義された種に置くには不十分である。
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陽子と中性子は同じ経路を同じ速度で航行できる。
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二つの粒子がv = cで同じ経路をたどることができるが、一方は光子で他方はニュートリノでありうる。
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後で見るように、同じ方向に光速で同じ経路をたどる二つの光子は異なりうる。それらはP対称である。
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一方は右ヘリシティを持つ。
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他方は左ヘリシティを持つ。
これは光の偏光に対応する。それらは異なる種に属するか？ 選ぶ群による。
種は与えられた群に対して相対的である。
運動量。
…運動は特異な選択、運動量空間における点である。唯一の違いが質量である種の運動を考える。二つの種を取る。質量maの粒子は質量mbの粒子に変換できない。たとえそれらの軌道が時空において同一でありえても、我々はそれらを二つの異なる種の異なる運動、すなわち：
二つの異なる運動種
とみなす。
(166)
運動量はパラメータの集合である：
J = { J1 , J2 , J3 , ........, Jn }
一つはエネルギー
J1 = E 。
他の三つ：
( J2 = px , J3 = py , J4 = pz )
は運動量ベクトルpを形成する。いずれも物理学者に馴染みのある量である。
…これらの量は純粋な幾何学的量として生じ、選ばれた群に直接結びつけられる。運動量を形成する量の数は群の次元に等しいことを後で見るであろう。
…では、我々がこれから行うゲームの規則は何か？
