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必要：
(180)
Ag
( Ag'(y)) = Ag"(y)
Ag(y)
= y x
g
Ag'(y)
= y x
g'
Ag
( Ag'(y)) = y x
g' x g
しかし：
2つの行列の積は、
一般には可換ではない。結論として：
(181)
Ag(y)
= y x g
は群の作用ではない
：上記の公理を満たさない。しかし別のもの、すなわち
「反作用」に対応するものは満たす。
(182)
行列の場合：
(183
我々は依然として
作用と反作用を探している。x ベクトルから転置したものを
作り、試すことができる：
(184)
それは作用か
？ 進めよう。
g" = g
x g'
(185)
(186)
ここで線形計算の定理を用いる：
(187)
M -1
x N
= ( N x
M ) -1
ここで M と N
は任意の (n,n) 行列である。それゆえ：
(188)
g' -1
x g-1 = ( g x
g' ) -1
= g" -1
そして：
(189)
これは群の
作用である。次に考えよう：
(190)
Ag(m)
= g x mx g-1
これが作用であることを示せ。
次の3つの行列を考える。
(191)
g
g'
g" = g
x g'
Ag(m)
= g x
m x g-1
Ag'(m)
= **g'**x
m x
g' -1
Ag"(m)
= g" x
m x
g" -1
必要：
(192)
Ag(Ag'(m))
= Ag"(m)
左辺を構成する：
(193)
g x (g'
x m
x g'
-1) x g-1
または：
(194)
g x
g'x
m x
g' -1
x
g -1
すなわち：
(195)
(g x
g') x
m x ( g
x g')-1 = g" x
m x
g" -1
これは群の作用である。
Souriau に倣い、これを次のように呼ぶ：
随伴作用
：
(193)
次に、行列 m に対する群の反作用を考える。
(194)
AAg(m)
= g -1 x
m x
g
これが次を満たすことを示せ：
(195)
AAg'(Ag(m))
= Ag"(m)
左辺を構成する：
(196)
g'-1 x
(g -1 x
m x
g) x
g'
または：
(197)
g' -1
x
g -1
x
m x
g x
g'
すなわち：
(198)
(g x
g') -1
x
m x
( g x
g')
または：
(199)
g" -1
x
m x
g"
