行列 m の選択。
…群 G は、ある曲面に例えることができる。それは、ある数のパラメータに依存する。この群のパラメータの空間を P とし、この空間の点を p とする。これらのパラメータ pi の数は、群の次元である。
(217)
図示：中立元 e（単位行列 1）。
増分 dp を与えることができる：
(218)
…次に、群の元である行列 g を微分する。群に属さない正方行列 dg が得られる。これは「群への接ベクトル」と呼ばれる。これらの接ベクトルは、群の「リー代数」と呼ばれるもの（ちなみに代数ではない）を形成する。
我々は中立元の近傍で微分することを選んだ：
(219)
そして次の反作用を選ぶ：
(220)
AAg(m) = g-1 × dg(g=e) × g
備考：
なぜ g = 1 における群への接ベクトルを選ぶのか？
…群の任意の点におけるより一般的な接ベクトル dg を使うこともできた。同じ結果が得られるが、計算ははるかに煩雑になる。
群の次元は n である。行列 g は n 個のパラメータ { pi } に依存する。
リー代数の元 dg(g=e) は、同じ数のパラメータ {d pi } に依存する。
上記の反作用の計算により、次の写像が得られる：
(221)
{ d pi } -----> { d p' i }
同じ数のスカラーを導入する：
{ J i }
この集合を群の運動量 J と呼ぶ。
J = { J i }
これは n 個の量、n 個のスカラーの集合である。時にはこれを行列にまとめることができる（ポアンカレの運動量への作用）。
{ J i } は、群の接ベクトルへの余接ベクトル { d p i } である。双対性により次が与えられる：
(222)
このスカラー積の保存から、写像：
(223)
{ d p i } -----> { d p' i }
がわかれば、双対写像を構築できる：
(224)
{ J i } -----> { J 'i }
これが我々が求める本質的な作用であり、スリオーはこれを群の運動量空間への余随伴作用と呼ぶ。
この概念を説明する最良の方法は、例を示すことである：
ポアンカレ群の運動量空間 Jp への余随伴作用。
上記では、一般化ローレンツ群を示した。次を選ぶと：
(225)
公理的な定義に従う元 L を持つローレンツ群 L が得られる：
(226)
時空ベクトルは次である：
(227)
c = 1 とすると、基本二次形式、ミンコフスキー計量が得られる：
(228)
逆行列は次である：
(229)
ここで時空並進を導入する：
(230)
ポアンカレ群 Gp の元 gp を次のように構築する：
(231)
演習：これが群を形成することを示し、逆行列を計算せよ：
(232)
リー代数の元は次である：
(233)
そして反作用：
(234)
dgp' = gp-1 × dgp × gp
次に気づく：
(235)
G d L
は反対称行列である。これを次のように呼ぶ：
(236)
それゆえ：
(237)
次を置く：
(238)
これから反作用を構築できる：
(239)
dgp' = gp-1 × dgp × gp
これにより次の写像が得られる：
(240)
(240b)
(240c)
これが求められる写像である：
(241)
