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...ポアンカレ群 Gp の要素 gp は、パラメータの集合 {pi} によって定義され、その数は定義により群の次元である。行列 dg（g=e）は集合 {dpi} から構成される。したがって、先の写像は反作用に対応する：
(242)
AA : {dpi}
--> {dpi'}
双対性を導入し双対写像を構成するために、スカラーの一定性を仮定する：
(243)
ポアンカレ群の次元は10であり、したがって運動量 Jp の成分である10個のスカラー { Ji } が得られる。
Jp
= { J1 , J2 , J3 , J4 , J5 , J6 , J7 , J8 , J9 , J10 }
これを二つの対象に分割することにする：
(244)
Jp= { M , P }
第一の M は (4,4) 反対称行列である。
P は四元ベクトル (4,1) である。
(245)
したがって：
(246)
Jp=
{ M , P } = { M , p , E}
スカラー積を次のように書く：
(247)
Tr はトレースを意味する。スカラー積の一定性により次が得られる：
(248)
ただし：
(249)
(249b)
(249c)
しかし GG = 1 である。したがって：
(250)
(250b)
(251)
すなわち：
(252)
(252b)
(252c)
(253)
この余随伴作用は行列形式で表せる：
ポアンカレ群の要素は：
(254)
その転置は：
(255)
行列を考える：
(256)
次のように書く：
(257)
(258)
(259)
これは次の行列と同一視される：
(260)
したがって Jp はポアンカレ群の運動量を行列にしたものであり、余随伴作用は：
(261)
演習：これが作用であることを確認せよ。
運動量行列は次に対応する：
(262)
反対称行列 M の対角はゼロで構成される。
(263)
これは六つのパラメータに依存する。
(264)
( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
行列を書く：
(265)
最後の三つの成分 ( fx , fy , fz) は、Souriau が通過ベクトル f と呼ぶものを形成する：
(266)
最初の ( lx , ly , lz) は反対称行列 (3,3) の独立成分であり、Souriau はこれをスピン行列と呼ぶ。
(267)
したがって：
(268)
ベクトル P は運動量-エネルギー四元ベクトルである：
(269)
したがってポアンカレ群の運動量は、その最も一般的な形で明示できる：
(270)
それは十個の成分を持つ：
(271)
Jp
= { E , px ,py , pz , fx ,fy , fz , fx ,fy , fz } = { E**, p , f , l** }
