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スピンを持つ粒子。

...ポアンカレ群は、点状物体の相対論的運動を記述する。同様に、バルクマン群は非相対論的運動を記述する。運動量の成分は純粋に幾何学的な量として現れる。それは物理学の幾何学化である。
物理学者はエネルギーEと運動量ベクトルpには慣れ親しんでいる。しかし、他の二つの対象、すなわち「通過」fとスピンベクトルlには少し当惑するかもしれない。運動量の成分の形は座標の選択に依存する。
...各力学群はそれ自身の運動量空間と、この運動量空間への余随伴作用を持つ。もし最初に相対論的世界（ポアンカレ群）を選ぶ代わりに非相対論的世界を選んでいたなら、バルクマン群を参照しなければならなかっただろう。計算の詳細については群に関する私の講義を参照されたい。
バルクマン群はガリレオ群の非自明な拡張である：
(272)

読者が見て取れるように、この群は五次元空間に作用する：

r：空間

t：時間
z：追加変数。

...追加変数、あるいは複数の追加変数に関するこれらの問題は、さらに先で扱う。このサイトでは、ポアンカレ群の余随伴作用の完全な計算が上に与えられている。バルクマン群のその運動量への余随伴作用の計算も導出できよう。逆説的だが、非相対論的世界における計算は、相対論的世界におけるそれよりもいくらか複雑である。
結果は次のとおりである：
(273)

物理学者は速度のようないくつかの馴染み深い対象を識別する：
(274)

そして運動エネルギー：

(275)

mvは運動量である。

何に対する速度か？
群は運動のパラメータを変え、粒子に速度vと運動エネルギーEを与える。
我々は逆の解釈を選び、群を何か、すなわち粒子に対する特異な視点と見なすこともできる。
群SO(3)、行列aを考えるなら、それは「別の角度から見た」ことを意味する。
群O(3)、行列aを考えるなら、それは「鏡を通して」その「もの」を観察する可能性を加える。

並進ベクトル
(276)

ユークリッド群のそれは「別の場所から見た」を加える。

力学群において、群の中に速度vが存在することは、観測者が動いていることを意味する。
時間並進e = Dtは、観測者が何らかの遅延の後にそのものを見ることを意味する。
並進ベクトルDrと時間遅延Dtは、時空並進ベクトルにまとめることができる：
(277)

式を見よ、バルクマン群から、我々は次を見る：

m' = m

視点が何であれ、質量は不変である。

この「視点」を少し単純化し、a = 1を選ぼう。

余随伴作用は次のようになる：
(278)

...余随伴作用は運動のパラメータの変化を示す。定常状態から非定常状態へ移行すると考えるなら、初期条件は次に対応する：

E = 0（ゼロエネルギー）

p = 0（ゼロ運動量、ゼロ速度）

「通過」f = 0

そのとき余随伴作用は次を与える：
(279)

「考える」はその語源的な意味で読まれなければならない。

執行官は言う：

調査と目録の作成。

...物事の静的（v = 0）な視像は、ユークリッド群に対応する。執行官は距離cで物事を観察する。彼は事実が起こる時刻にそれらを観察する（Dt = 0）。場合によっては彼はある角度から見る（aは1と異なる）。

...将軍が戦場の上空を飛行機で飛び回るのは、ある種の執行官であり、動く視点から（速度vで巡航する飛行機から）物事を観察する。
...しかし、司令部にいる将軍が、数時間前に無人機、ドローンによって撮影された映画を見て言う：

標的を、一時間前の状態で（非ゼロのDt）、動く観測点から（非ゼロのv）、五千フィートの高度から（非ゼロのc）、速度vで巡航し、ある角度を通して（aは1と異なる）撮影したと考慮せよ。

...標的は、たとえそれが「固定」建造物と想定されていても、定義された速度も位置も向きも持たない。すべては相対的である。地球でさえ、太陽でさえ、我々の銀河でさえ宇宙を移動する。

...地球の「北極」は太陽の「北極」とは23°異なり、歳差運動により時間とともに（26,000年で）変化する。太陽が示す北（それ自身の回転軸）は、我々の銀河、天の川が示す北ではなく、銀河はそれ自身の回転運動を持つ（90°の隔たり）。銀河でさえ時速三百マイルで動く。何に対して？他のものに対して。我々が言えるのはそれだけである。
群は二つの異なる視点に対応する。

...もし私が対象を定常で、空間と時間に固定され、回転運動を持たないと考えるなら、私が言えるのは次のことだけである：