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ポアンカレ群の成分を思い出そう：
E：エネルギー
p：運動量
f：通過
l：スピン行列。
Souriauのテキストに近づけるため、次のように呼ぶことにしよう。
-
Ln
完全ローレンツ群Lの中性成分Lnの元。 -
Ls
空間を反転させる成分の元。 -
Lt
時間を反転させる成分の元。 -
Lst
空間と時間の両方を反転させる成分の元。
Cを時空並進ベクトルとすると、ポアンカレ群の次の成分が得られる：
gp
( Ln , C) 中性成分Gpnの元。
gp
( Ls , C) 空間を反転させる成分Gpsの元。
gp
( Lt , C) 時間を反転させる成分Gptの元。
gp
( Lst , C) 両方を反転させる成分Gpstの元。
余随伴作用は次のとおりである：
(313)
Pは四元ベクトルである：
(314)
4つの特性行列がある：
(315)
ここで l = ± 1 および m = ± 1 である。
Ln
= L ( l = 1 ; m = 1)
Ls
= L ( l = - 1 ; m = 1)
Lt =
L ( l = 1 ; m = - 1)
Lst
= L ( l = - 1 ; m = - 1)
(316)
(317)
(318)
我々は C = 0 に興味がある
(319)
したがって l' = l
および f' = l m
f
そして：
(320)
gp
( Ln , C) : I E --> E ; p --> p
; f ---> f ; l ----> l
gp
( Ls , C) : I E --> E ; p --> - p
; f ---> - f ; l ----> l
gp (
Lt , C) : I E --> - E ; p --> p
; f ---> - f ; l ----> l
gp
( Lst , C) : I E --> - E ; p --> - p
; f ---> f ; l ----> l
反転はスピン行列 l を変化させない。
逆に、T反転とエネルギー反転は同義である
E --->
-E
（これを「E対称性」と呼んでもよい）
スピンベクトルsの大きさとしてのスピンsは単なる数であり、群のすべての成分の作用によって変化しない。それが正時間的であれ反時間的であれ。.
...粒子の静止エネルギーはmc2である。
見てのとおり、質量反転は時間反転を伴う。しかし空間反転はエネルギーも質量も変化させない。
Souriauは完全ポアンカレ群の最初の2つの連結成分を次のように呼ぶ：
Gpn , Gps
正時間的成分
（Gpnは中性成分である）。
そして他の2つを：
Gpt , Gpst
反時間的成分と呼ぶ。
負の質量の問題が生じる。それらは存在するのか？もし存在するなら、反対の質量とエネルギーを持つ粒子間の衝突はどうなるのか：
- mc2 と
- mc2
...これはいわゆる粒子・反粒子対の「対消滅」に対応しないことに注意せよ。後者の衝突からは放射エネルギー、光子が得られる。
正のエネルギーと負のエネルギーの粒子の衝突の結果はもっと不可解なものになるはずだ。なぜならそれはゼロになるはずだから：何も残らない。
...自然とは何か、粒子とは何か？このアプローチでは与えられた群から出発する：ポアンカレ群である。次にこの群の運動量空間への作用を構築する。この運動量空間は点から成る。各点は、群に関連付けられた空間を構成する幾何学的対象の一つの運動である。
...以下ではポアンカレ群が粒子のすべての特性を引き受けられないことを示す。
...ポアンカレ群の次元は10である。
したがって運動量の次元もまた10である。
(321)
J = { E
, p , f , l }
粒子に結びついた座標系 f = 0 を選ぶならば。
要約すると、ポアンカレ群から幾何学的量として自然に生じる唯一の特性は：
ゼロ質量粒子に対して：
- そのエネルギー
- そのスピンとヘリシティ
非ゼロ質量粒子に対して：
- その静止質量
- そのスピン。
他の特性：
-
電荷
-
バリオン電荷
-
レプトン電荷
-
ミューオン電荷
-
タウオン電荷
-
磁気回転比
そしてこの粒子が物質または反物質の世界に対応しうるという事実はポアンカレ群に「含まれて」いない。扱うために群をさらに豊かにするであろう。
現時点では群は粒子と反粒子を「構築」しない。しかし、その2つの部分集合（2つの正時間的成分と2つの反時間的成分）によって補完されれば、正と負のエネルギーの粒子を別個の種として「構築」する。
...もし完全ポアンカレ群が宇宙を「支配」するならば、正と負のエネルギーは共存しうるので、出会って完全な対消滅現象を生じる。もし宇宙が50%の正エネルギー粒子と50%の負エネルギー粒子で満たされていれば、宇宙全体が自己対消滅して何も残らない大きな危険があるだろう：
-
正エネルギー粒子なし。
-
負エネルギー粒子なし
-
正エネルギー光子なし
-
負エネルギー光子なし。
何も。何も全く。なんてこった！
...Souriauが示唆したように、神はその無限の英知において、正エネルギー粒子と正エネルギー光子のみを創造したであろう。同様にその天使たちはポアンカレ群の反時間的成分の使用を禁じ、どこかに厳重に監禁しておくであろう。
...別の可能性については将来の節で考えることにする。
