| 24 |
ガリレオ特別群。
…読者はこの拡張をSouriauの著書『Structure of Dynamical Systems』Birkhasuer Ed. 1997、およびフランス語版『Structure des Systèmes Dynamiques』Ed. Dunod 1973に見出すことができる。
…群は拡張されうる。それは、群が依存するパラメータの数が増加することを意味する。ガリレオ群が依存するパラメータの数を計算せよ。我々は3次元回転行列から出発する：
(322)
それは直交行列である：
(323)
これらの行列は、すべての直交行列からなる群O(3)の部分群である群SO(3)を形成する。我々は次を持つ：
(324)
次との違いを思い出せ：
(325)
(325b)
は最も一般的な直交行列であり、その行列式は次に従う：
(326)
この括弧を終える。
次の正方行列(5,5)の群はガリレオ特別群と呼ばれる：
(327)
回転行列は3つの自由パラメータ、すなわちオイラー角に依存する。したがって群の次元は10である。
記法を用いて：
(328)
我々は次を得る：
(329)
時空ベクトルに関連して：
(330)
したがって空間ガリレオ群の対応する作用は：
(331)
…ガリレオ特別群が与えられれば、その運動量空間への群の作用を計算することが可能である。計算はここでは与えない。読者は私の群論の講義（入手可能）に見出すことができる。
結果を与えよう：
(332)
我々は運動量pとエネルギーEを認識する。運動量は次から構成される：
(333)
JSG
= { E , p , f , l }
…10個のスカラー量。群の次元は10。我々は依然として通過ベクトルfと反対称スピン行列l（「スピンベクトル」を形成する3つの独立成分lx、ly、lzから構成される）を持つ。
ガリレオ特別群の自明な拡張。
次の行列は新しい群を形成する。
(334)
それは新しい成分f、スカラー、「ファシス」（量子世界に関連する）を導入する。群の次元は次になる
10 + 1 = 11
この新しい群は5次元空間に作用する：
(335)
zは「追加次元」である。それは1921年にポーランドのKaluzaによって、次いで1964年にJ.M.Souriauによって初めて導入された（Géométrie et relativité Hermann Editeur、英語には未翻訳）。
ここでもまた、その運動量空間への群の対応する余随伴作用を計算することができる。我々は次を見出す：
(336)
運動量は次になる：
(337)
JTESG
= { m , E , p , f , l }
…我々はもう1つのスカラーmを持ち、それを質量と同定する。時空に作用するガリレオ特別群は、運動量の成分としてエネルギーをもたらすが、質量はもたらさないことがわかる。現在（自明な拡張を通じて）我々の粒子は追加の属性を得て、それは質量と同定され、非常に恣意的であり、運動量の他の成分と相互作用しない。
