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特殊ガリレオ群の非自明な拡張。
バーグマン群（1960年）
以下の行列
（群に関する私の講義を参照）
(338)
は群を形成し、1960年にバーグマンによって発見された。ここでもまた、それは五次元空間に作用する。その次元は、スカラーfの存在により11である。それは特殊ガリレオ群の非自明な拡張である。
(339)
群の運動量への余随伴作用を計算すると、次が得られる：
(340)
...この余随伴作用はより洗練されており、質量が運動量の他の成分と相互作用することがわかる。我々はこれを上で分析し、それが運動量の成分の物理的意味をどのようにもたらすかを示した。
...運動量とは、与えられた粒子の運動である。バーグマン群は非相対論的運動を記述する。我々は、エネルギーも運動量もスピンも持たない、静止した粒子を考えることができる。ただ非零の質量だけを持つ：
m
p = 0
E = 0
f = 0
l = 0
我々はバーグマン群の以下の要素を用いる：
(341)
運動量の成分は次のようになる：
(342)
...粒子に連結した座標系では、通過fは依然として零である。我々は、スピン行列が運動学的運動量と同一視されることを示した。
...ここで重要なのは、特殊ガリレオ群の自明な拡張を見ることである（なぜ「特殊」か？これはさらに先で説明される）。この自明な拡張を行うと、それは運動量に付加的なスカラーをもたらすだけである。
ポアンカレ群を拡張しよう：
ポアンカレ群の中心的拡張。
(343)
「ep」は「拡張ポアンカレ群」を意味する。Loは完全ローレンツ群Lの正時部分群Loの要素である。したがって、上記の要素を、完全な拡張ポアンカレ群の正時部分群Gepoの要素と見なすことができ、その要素は次のとおりである：
(344)
両者は五次元空間に作用する：
(345)
( t , x , y , z , z )。
この拡張は、1とfの間の最初の行に非零項、すなわち0 = ( 0 0 0)ではなく、それを持つことはできないことを示すことができる。
...J.M.スーリオーが示したように、幾何学的量子化法（コスタント＝キリロフ＝スーリオー法）は、バーグマン群からシュレーディンガー方程式を、拡張ポアンカレ群からクライン＝ゴルドン方程式を導く（Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod Ed. 1972）。さらに、この群の中心的拡張は運動量に余分なスカラーを加える（バーグマン群の自明な拡張と同様に）：
(346)
Jep= { c , M , P } = { c , Jp }
Jpは古典的ポアンカレ運動量を表す。すると運動量の余随伴作用は単に次のようになる：
(347)
計算は複雑ではなく、上に示したものと同様である。反作用を計算する：
(348)
すると双対性は、以下のスカラーの恒常性を通じて表される：
(349)
...したがって、余随伴作用を通じてただ保存されるだけの付加的なスカラーcが得られる。今のところこのスカラーは物理的解釈を受けていない。我々は以下でそのすべてを明らかにするつもりである。明らかに、我々は群を好きなだけ何度でも拡張できる：
(350)
そのたびに、それは付加的なスカラーを加える
(351)
Jpe= { c 1 , c 2 , c 3 ....., M , P }
Jpe= { c 1 , c 2 , c 3 ....., Jp }
そして余随伴作用は次のようになる：
(352)
読者は言うだろう。「では、なぜ57個の新しいスカラーを加えないのか？」
6個だけ加え、これらの新しいスカラーを次と同一視する：
(353)
c 1 = q（電荷）
c 2 = cB（バリオン電荷）
c 3 = cL（レプトン電荷）
c 4 = cm（ミューオン電荷）
c 5 = ct（タウオン電荷）
c 6 = v（ジャイロ磁気係数）
群は以下の十次元空間に作用する：
(354)
( x , y , z , t , z 1 , z 2 , z3 , z 4 , z 5 , z6 )
すなわち：時空プラス六つの付加次元。
(355)
この群は完全ローレンツ群Lの正時部分群
Lo = Ln（中立成分）U Ls（空間反転を達成する）
で構成されていることを思い出そう。
運動量は次のようになる：
(356)
Jpe= { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp }
Jpはポアンカレ群Gop（正時部分群）に対応する運動量の部分である。
物理的意味は何か？
...運動量は、n-多様体である空間に属する。ポアンカレ群は十次元を持ち、したがってポアンカレ群の運動量は十個の量で構成される。
次に、付加的な位相に対応して、群にさらに六つの次元を加える：
(357)
f1 ,f2 ,f3 ,f3 ,f5 ,f5
運動量は次のようになる：
(358)
Jpe= { J1, J2 J3, J4, J5, J6, J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
我々は、スカラーの集合
(359)
Jp= { J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
のうちで、エネルギーE、運動量p、通過f、スピン反対称行列lを同一視することを決める。
...Eとpはすべての可能な値を取りうるが、量子的な論拠は（粒子に連結した座標系における）スピンベクトルの大きさsの恒常性を課す。これはここでは正当化されず、スーリオーの仕事に対応する。
我々はさらに六つのスカラーを持つ：
(360)
J1, J2 J3, J4, J5, J6
...我々は、無限の可能な選択のうちで、いくつかの離散的な選択が実粒子（および反粒子）に対応することを決める。すると、運動量空間に対応する16-多様体において、我々は定義された量子数を持つ粒子に対応する離散的な運動を選択する
(361)
{ q , cB , cL , cm , ct , v }
...今のところ、群の余随伴作用は、与えられた運動に沿ってこれらの量の保存を保証するだけである。質量が特殊ガリレオ群の自明な拡張から生じたときに受動的な量として現れたのと同様に、これらは「受動的量子数」である。
