| 27 |
反物質の幾何学的定義。
...1964年にSouriauが『幾何学と相対性』（Éditions Hermann、第VII章「五次元相対性」、413頁）で述べたように、「第五次元の反転は電荷共役に対応する」。
...これは反物質がディラックの定義に対応するならば真である。反物質の先験的な幾何学的定義を与えよう。空間を次元で表すことができる：
(368)
これは以下のように、ファイバー化された時空で模式的に表すことができる：
(369)
...物質の運動は正のz i の値に、反物質の運動は負の値に対応すると決める。これは以下に対応する：
(370)
これを群に組み込むように群を修正するのは容易である。
(371)
これは4成分群（l = ± 1）× 2（拡張正時群は2つの連結成分を持つ）となる。
成分（l = +1）は部分群である。
...明らかに、（l = - 1）の要素は付加変数の符号を変える。純粋に幾何学的な根拠に基づき、これが物質と反物質の双対性に対応すると決める。
以下とする：
(380)
すると、より簡潔に書くことができる：
(381)
l = 1 は正時部分群に対応する。
(382)
我々が「l-交換子」と呼ぶものを導入する：
(383)
これは第二成分に属する。しかしこの第二成分の任意の要素は次のように書ける：
(384)
go = glc × go
ここでgoは群の正時成分の要素である。
模式的に：
(385)
左：運動空間。二つの半空間があり、(z i > 0)の運動（物質）と(z i > 0)の運動（反物質）に対応する。
両者の間には：z i = 0の運動（光子）。
...右：4成分群。すべて正時である。すべての運動は正のエネルギーに対応する（下は運動量空間）。
（l = - 1）の要素を「反要素」と呼ぶ。
我々はl-交換子の反要素を図示した。
...通常の正時要素は、正のエネルギー運動J1+に対応する運動量を別の正のエネルギー運動J2+に変換する。
...しかし反要素は、運動量空間において正のエネルギー物質の運動を正のエネルギー反物質の運動（J1+ -----> J3+）に変換する。その象徴点は反物質に対応する象限にある。
対応する経路は発展空間に図示されている。
(385b)
群の余随伴作用の計算
(386)
その運動量に対する計算は次を与える：
(387)
参照：
J.P.Petit and P.Midy : "Geometrization of matter and anti-matter through coadjoint action of a group on its momentum space. 2 : Geometrical description of Dirac's anti-matter". Geometrical Physics B, 2 , 1998.
