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解決策は何か？
...もしJ.M.スーリオが示唆するように、神がその無限の英知において負の質量とエネルギーの粒子を創造せず、物理学者が反時間的要素を使うことを妨げたのなら、この理論はPTおよびCPT対称性を扱えない。
我々は別の解決策を提示する：
J.P.プティおよびP.ミディ：「群の余随伴作用を通じた物質と反物質の幾何学化。4：双子群。ディラックの反物質の幾何学的記述。ファインマン以降の反物質の幾何学的解釈と、いわゆるCPT定理」。Geometrical Physics B, 4, 1998.
...正のエネルギー粒子と負のエネルギー粒子の衝突を防ぐために、我々は進化空間を二つの折り目に分割する。これは群をその正時間部分群で割った商を形成する。我々は双子幾何学を得る。
我々は折り目指数 f = ±1 を導入する。
f = +1 は折り目 F に対応する。
f = -1 は折り目 F* に対応する。
双子群は：
(400)
...それは依然として8成分の群である。( m = -1 ) の要素、すなわちPT対称性に対応するものが、折り目の交換を伴うことがわかる：
f -----> -f
...運動量空間は依然として四つのセクターから構成されるが、負のエネルギーセクターはF*折り目における粒子の運動に対応する。
(401)
続く対称性は：
(402)
我々は今、新しい「運動場」を定義できる。
(403)
運動場：二つのセクターの運動量空間（E > 0 および E < 0）に付随する二つの折り目（F および F*）の空間
(404)
通常物質の運動。l = 1 を伴う群の正時間要素の作用。
電荷は不変。
通常物質の運動に付随する運動量に対する群の ( l = -1 ; m = 1 ) 要素の余随伴作用：新しい運動はディラックの反物質に対応する。
...図において、線M1は通常の正時間物質の運動を表す。我々の群は重力場や電磁場のような力場を考慮しないため、直線で表す。それは孤立した粒子、すなわち帯電した質点の挙動のみを扱う。
我々は灰色の領域の要素を選んだ。これは ( l = -1 ; m = 1 ) 行列に対応する。( l = -1 ) の値はすべての zi の符号を変える。それらは負になる。新しい経路は第二のセクターにあり、反物質に対応する。l m = -1 であるため電荷は反転する。しかし時間は反転しないため、粒子のエネルギーと質量は正のままである。
これはディラック以降の（正時間）反物質の幾何学的記述である。
...さらに二つのセクターを探求しなければならない。第三のセクターでは、( l = -1 ; m = -1 ) 要素の運動量と運動への影響を検討する。
( l = -1 ) は {z i} を反転させる。我々の幾何学的定義によれば、この新しい運動は反物質に対応する。なぜならそれは空間 { z 1, z 2, z 3, z 4, z 5, z 6, x, y, z, t } の第二のセクターで行われるからである。
( m = -1 ) はPT対称性を与え、( x, y, z, t ) の符号を反転させる。
しかし ( l m = +1 ) は電荷を不変に保つ。
これは「PT対称的反物質」であり、ファインマン以降の反物質の幾何学的記述である。
運動は第二の空間セクター、折り目F*の中で行われる。
(406)
( l = -1 ; m = -1 ) 要素は通常物質の運動を反物質の運動（z対称性）へと変換する。時間を逆行するPT対称的対象の運動。ファインマンの反物質観の幾何学的記述。ディラックのそれと完全には一致しない：負の質量と負のエネルギー。
最後の要素はセクター ( l = 1 ; m = -1 ) に対応する。
( l = 1 ) ---> 運動は依然として物質のセクターにある：
z対称性なし。
( m = -1 ) はPT対称性を伴う。粒子は時間を逆行する。
( l = -1 )：C対称性。電荷は反転する。
...これはCPT対称的物質であり、いわゆる「CPT定理」の幾何学的解釈に対応する。この定理は、粒子のCPT対称体はその粒子と同一であるべきだと主張する。それは正しくない。この運動は反時間的運動に対応する。粒子は時間を逆行するため、（余随伴作用により）その質量とエネルギーは負になる。
...通常粒子のCPT対称体である粒子の運動は折り目F*の中で行われる。
(407)
( l = 1 ; m = -1 ) の場合。CPT対称性に対応する。しかし余随伴作用は負の質量とエネルギーを与える。物質粒子のCPT対称体は物質粒子であるが、負の質量を持つ。
