群と物理学における共随伴作用と運動量
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3 - 群の第三公理：すべての要素には、逆元と呼ばれる要素 g⁻¹ が存在し、次のように定義される：
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
私たちの例では、これは次のように書ける：
すなわち b = -a であり、
g⁻¹(a) = g(-a)
…ここでは行列の逆行列を計算することが当然のように思えた。しかし、常にそうとは限らない。むしろ、そうではない場合がほとんどである。では、考えている集合に属するすべての行列が逆行列を持つためには、どのような条件が必要だろうか？すなわち、行列が「可逆」であるためには、その行列式がゼロでないことが必要十分条件である（読者は線形代数の授業を参照されたい）。ある定理によれば、行列の積の行列式は、各行列の行列式の積に等しい。行列式の定義から、対角行列の行列式はその成分の積に等しい。たとえば：
結果として、すべての単位行列 1 の行列式は 1 である。よって、
det(g) × det(g⁻¹) = 1
結果として、行列式がゼロである行列は逆行列を持てず、これは定義に反する。さらに、
4 - 群の第四公理：合成演算は結合的でなければならない：
( g₁ × g₂ ) × g₃ = g₁ × ( g₂ × g₃ )
これは常に成り立つ……
群の次元
…群（行列群）の「次元」について少し触れておく。これは、群を構成する行列のランクや、群が作用する「空間」の次元（たとえば2次元の空間(x,y)や4次元の時空(x,y,z,t)）とは全く無関係である。
…ここでは、1つのパラメータ a で定義される正方行列の族が群をなしている例がある。後で、n 個のパラメータ（6個、10個、16個、あるいは任意の数）で定義される行列群が現れる。
群の行列を定義するパラメータの数を、その群の次元と呼ぶ。
ここでは、パラメータ a で定義される行列の族からなる群に出会っている。この群の次元は 1 である。
ついでながら、次の点に注意：
注記：
…群、特にここで注目している群は、自動的に可換であるとは限らない。むしろ、可換であることは例外である。幸いなことに、私たちの例の群は可換である：
…この群は、固定軸の周りの2次元回転行列として認識できる。現実世界では、この操作は「自明に可換」である。軸の周りに：
- まず角度 a だけ回転し、その後角度 b だけ回転する
または、
- まず角度 b だけ回転し、その後角度 a だけ回転する
という順序は、どちらも同じ結果をもたらす。
あなたは言うだろう：「当然だ。回転群は本質的に可換である。」
…誤りである。これは2次元の性質に過ぎない。3次元では成り立たない。3つの直交軸（OX, OY, OZ）の周りの回転の集合からなる特別な群を考えてみよう。
演習：実際に物体を持ち、以下の操作を順番に実行し、その後逆順に実行してみよ：
- まず OX 軸の周りに +90° 回転
- その後 OZ 軸の周りに +90° 回転
次に、同じ操作を逆順に実行してみよ。同じ結果にはならない。この操作は可換ではない。
群の作用
…群 G は正方行列の集合で構成される。すでに、この群は自分自身に作用していると考えられる（後で「群作用」を定義する公理を参照されたい。これは非常に重要な概念である）。
…私たちの例の群は、2次元空間の点にも作用することができる。このとき、点を「回転させる」と表現する。群とは、何かを運ぶためにあるが、いったい何を運ぶのか？
…実は、運ぶ対象そのものよりも、運び方のほうが重要である。J.M. Souriau の著書『自然の文法』を引用して言えば：
運ぶ方法の方が、運ぶ対象よりも重要である。
私たちの例の群の場合、行列は2次元空間(x,y)に作用し、対応する作用は次のように書ける：
もし (列ベクトル) を
と置くならば、作用は単に
g × r
と書ける。
この特別な場合、群の作用は2次元空間(x,y)における行列の積と一致する。しかし、我々はこれが特殊な例にすぎず、物理学において非常に重要な概念である「作用」の概念がはるかに一般であることを示したいのである。