群と物理学の共随伴作用、運動量
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並進群：
…2次元空間（x, y）を考える。この空間において、並進はスカラーのペア（Dx, Dy）に対応し、次のように表すのが慣例である。
x' = x + Dx
y' = y + Dy
このとき、加法 を用いる。では、並進を…乗法 で表現することは可能だろうか？
以下の行列を考える。
そして群作用を定義する。
ここで、単なる行列乗法
g × r
ではなく、群作用 が成り立つことに注意する。
一方で、3次元、4次元、さらにはそれ以上の次元における並進も検討できる。
群作用は以下のようになる。
…補足として、並進群は可換であり、単位元は「ゼロ並進」である。3次元では群の次元は3、4次元では4である。
行列群の利点。例：オイラー群。
…行列群の利点は、これまで本質的に異なるように思われてきた複数の操作（たとえば回転と並進）を同時に扱える点にある。そのため、次のような行列を考える。
そして、群の基本行列を列ベクトルに作用させると、これは角度αの回転とベクトル（Dx, Dy）による並進の組み合わせに等しいことがわかる。
…ご覧の通り、行列gは2次元空間の点（x, y）に「直接」作用しているわけではなく、ある特定の「群作用」と呼ばれる仕組みを通じて作用している。これはいくつかの公理に従う。
…したがって、群は「作用」し、「点を移動」させる。ここではオイラー群が登場する。2次元空間（x, y）に関連するこの群は3つのパラメータで定義される。すなわち g（a, Dx, Dy）であり、この群の次元は3である。特に以下のように分類できる。
g（0, Dx, Dy）は並進部分群を表す。
g（a, 0, 0）は原点周りの回転部分群を表す。
g（0, Dx, 0）はOX軸に平行な並進部分群を表す。
…オイラー群は、自らに属性を持たない点を移動させる。一方、力学の群は単なる「質点」に質量、エネルギー、運動量、スピンといった「属性」を与える。
…オイラー群では、点の集合を考慮せざるを得ない。まるで、化学において原子同士が区別できないように、分子の幾何構造のみが情報を持つような状況である。
…三角形（3点または3線分の集合として考える）や四角形（4点または4線分の集合として考える）といった幾何学的図形は、この群によって移動可能である。ここに、種という基本的な概念が登場する。2つの「物体」が、群の要素によって一方を他方に重ね合わせられるならば、それらは同じ「種」に属するという。
…オイラー群の視点から、辺の長さが同じaである正方形は、同じ「種」を形成する。
同じ種の正方形。
…辺の長さaとbが異なる場合、これらの物体は同じ種ではない。群の要素によって一方から他方へ移行する方法は存在しない。オイラー群の視点では
これらの正方形は同じ種を形成しない。
オイラー群は相似変換（拡大縮小）を許さない。これを扱うためには、デカルトの群へ移行する必要がある。
4パラメータの群 g（λ, a, Dx, Dy）で、λは拡大率（相似変換係数）である。この群の次元は4となる。
ここから、3次元空間におけるオイラー群の作用を考えることもできる。
…群論の完全な講義に踏み込むのではなく、いくつかのアイデアを直感的に感じ取ることを目指す。動物の分類学とは何か？動物を研究し、分類する科学である。形状に限定すれば、オイラー群は成体のウサギを分類できる。しかし、異なるサイズのウサギを同じ種に分類するには、オイラー群（3次元）では不可能である。そのため、デカルトの群を用いる必要がある。
…笑っているだろうか？間違っている。自宅のどこかで、何か小さな子供が学習中かもしれない。彼は隅っこで、形の入る箱（円柱、立方体、三角柱など）に玩具を押し込もうと必死になっている。
…彼は何をしているのか？彼は3次元のオイラー群に慣れつつある。彼は物体を「種」で分類し、将来的にそれらを認識する「形状認識」の能力を身につけるのである。
…色が異なっていても、彼は円柱Aと円柱Bが、3次元空間における群作用（物体の移動）によって、箱の「空洞の形」に完全に一致させられることを確認している。つまり、箱の分類用の入口を通すことで、両者が同じ「種」に属することを学ぶのである。
