群と物理における共随伴作用、運動量
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(n,n) の正方行列は、(n,0) の列ベクトルに作用する。2次元ユークリッド群が座標空間 (x,y) に作用する場合、列ベクトルに作用するのではなく、次の通りであることがわかっている：
(51)
列ベクトルに作用する：
(52)
これは、群が空間 X に作用する例であり、x ∈ X である。可能な作用は無数に存在する。たとえば、群自身への作用も含まれる。作用は、公理によって定義される。
(53)
列ベクトルを次のように考える：
(54)
ここで x は、たとえば次のベクトルを表す：
(55)
(56)
これらは群作用の公理を満たす。そこで、群の要素を表す正方行列を左から、行ベクトル y に掛ける操作が、やはり群作用かどうかを検討する。
(57) Ag(y) = y x g
答えは「いいえ」である。これは群作用ではない。前述の公理を満たさない。このような作用を私は「反作用」と呼ぶ。この反作用は、次の「反公理」に従う：
(58)
数学者は、「反作用を導入する必要はない。一つの公理系で十分である」と言うだろう。確かにそうである。同様に、次の「反作用」と見なされる：
(59) AAg(m) = g⁻¹ x m x g
ここで m は与えられたベクトルであり、g⁻¹ は行列の逆行列である。これは、群の要素 g⁻¹ による作用として扱うことができる。同様に、「反作用」とは、作用の双対である。私は、教育的な目的のためにこの概念を導入することが便利だと感じた。
n 個のパラメータ πi に依存する正方行列の群から、すべてのパラメータを微分して dpi を得る。こうして得られる、dpi を要素にもつ行列は群をなさないが、これを「群の接ベクトル」と呼ぶ（その「リー代数」であり、実は真の代数ではないが、ここでは省略する）。
したがって、群は、群の単位元 e の近傍における「接ベクトル」dg に、次の「反作用」を通じて作用する：
(60) AAg(m) = g⁻¹ x dg(g=e) x g
これにより、次の図式が得られる：
(61)
しかし、反作用とは作用の双対である。双対性があるとき、スカラー積 S が保存される。したがって、スリアウは、「群のもう一つの作用」、すなわち「群がその運動量空間に作用する」ことを構成しようとした。しかし、この作用、いわゆる「共随伴作用」または「本質的」と呼ばれる作用は、直接には現れなかった。そこで、私は「群がその接ベクトルに作用する反作用」という中間的な構造を経由した。
したがって、求められていた作用は、群がその接ベクトルに作用する反作用の双対として現れる。そして、反作用の双対は「作用」である。その作用は次のように書ける：
(62) Ag(J)
ここで J は「運動量」であり、物質点の属性を表す量の集まりである。この作用、いわゆる「共随伴作用」は、これらの属性が運動中にどのように変化するかを示す。
後に述べるが、ガリレオ群の拡張である群が存在する。これは後に示すが、バーグマン群（1960年）と呼ばれる。この群に対してこの方法を適用すると、その運動量 JB と、群がそれに対してどのように作用するかを構成できる。
スリアウは次のように述べることがある：
運動量は、その影のように運動に従う。
美しい比喩であり、彼の著書『自然の文法』から借りたものである。物質点は実際に時空 (x,y,z,t) を移動する。その際、その属性は変化し、その変化は群がその運動量空間に作用する共随伴作用によって記述される。