群と物理の共随伴作用運動量
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バーガマン群の運動量の成分を書くことはしない。図式的にバーガマン群の運動量を次のように書く：
JB = { スカラー m 、他の運動量の成分 }
共随伴作用 は、運動量の異なる成分がどのように変換されるかを示す。しかし、この共随伴作用は単純な関係から始まる：
(63) m' = m
バーガマン群の運動量上の共随伴作用は、質量を保存することから始まり、これにより質量は純粋に幾何学的な性質を持つことになる。
ポアンカレ群の運動量空間 Jp** 上での共随伴作用の構成。**
もしすでに混乱しているなら、無理に理解しようとしなくてよい。これは普通のことで、ページが進むにつれて難しくなるのは当然である。この先が誰に向けられているのか、この段階では私自身もよく分からない。理論物理学者や数学者に向けられているのは間違いなく、しかしおそらくは管工や金属屋には向いていない。しかし、大学院や物理の学士課程を出た学生が頑張れば理解できるだろう。それらはただの行列に過ぎない。
これは4×4行列の群、つまりローレンツ群を構成する行列 L から始まる。
これらは行列 G から公理的に定義される：
(64)
以下のように：
(65) tL G L = G
ここで L の転置行列が関与している。
このような行列 L は群をなす。
証明。
単位元は L = 1 である：
L1 と L2 を集合の2つの元とする。その積 L1L2 が群に属することを確認する。もし属するなら：
t( L1L2 ) G L1L2 = G
しかし：
t( A B ) = t B t A
したがって：
t( L1L2 ) G L1L2 = tL2 tL1 G L1L2 = tL2 ( tL1 G L1) L2 = tL2G L2
次に行列 L の逆行列を計算する。L の定義から：
tL G L = G
右から L-1 をかける：
tL G L L-1 = G L-1
tL G = G L-1
左から G をかける：
G tL G = G G L-1
G tL G = L-1
したがって、行列 L の逆行列は：
L-1 = G tL G
つまり：
(66)
時空ベクトル。行列 G はミンコフスキー計量から来て、これは c = 1 で次のように書ける：
(67)
練習問題：行列の逆行列が次の式を満たすことを示せ：
(68)
次に、時空並進ベクトルを導入する：
(69)
このベクトルからポアンカレ群の元 gp を構成する：
(70)
練習問題：これが群をなすことを示し、逆行列を計算せよ：
(71)
以下は「群の接ベクトル、その「リー代数」の元」：
(72)
これにより、反作用を計算する：
(73) dgp' = gp-1 x dgp x gp
計算の便宜上、次のことに注意する：
(74) G d L
は反対称行列である。これを次のように呼ぶ：
(75)
したがって：
(76)
次のように置く：
(77)
この資料を使って反作用を構成する：
(78) dgp' = gp-1 x dgp x gp
すべての計算を終えた後、次の写像を得る：
(79)
もし単純な行列計算のこの部分を飛ばしたいなら、式 (80) を参照せよ、ページの下部に記載。
(79a)
(79b)
したがって、反作用の成分は：
(79c)
しかし：
(79d)
したがって：
(79e)
しかし GG = 1 なので：
(79f)
これにより、次の写像が得られる：
(79g)
これは求めている反作用であり、次の写像である：
(80)