群と物理学における共随伴作用と運動量
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私が言えるのは以下の通りである：
- 距離 c だけ「標的」から離れて、
- 自分自身が速度 v で移動しながら、
- 標的に対して時間差 Dt だけずれて観測する場合である。
私から見た場合：
--- 質量 m は変化していない。
--- 運動量 m v を持たせた。
--- 通過量 m [ c - v Dt ] を持たせた。
--- そして回転量（トゥルノイメント）をもたらした。
この回転量を明確に表すと：
(118a)
(118b)
(118c)
あるいは：
(118d)
回転量 l の3つの独立成分を、ベクトルの成分として捉えることができる。このベクトルは次のように書ける：
(119)
私たちの空間ではベクトル積（外積）を定義していない（すなわち、右ねじ方向か左ねじ方向かの方向性を付与していない）が、以下のようにベクトル積とみなすことができる：
(120)
逆向きの v はベクトル積を表す。共随伴作用の運動量に対する式の最後の行が、次のように対応していることがわかる：
(121)
l はベクトルではなく行列である（ただし、表記上、太字は行列もしくはベクトルを意味し、細字はスカラーを表す）。
このベクトル積は、物理学者にとって、すでに馴染み深いものに思える：それは 角運動量 である。
ある粒子を、距離 c だけ離れて、速度 v で移動しながら観測する。まるで逆の状況であるかのように見える：粒子が固定された観測者から距離 c 離れており、速度 v で移動しているように見える。
(122)
残るは「通過量」f = m [ c - v Dt ] である。
これは単に c = v Dt とすることで消去できる。すなわち、速度 v と時空的並進を結びつける：
(123)
ポアンカレ群から得られる運動量の式を、通過量がゼロとなる座標系で再び表すと：
(124)
粒子とは、運動量の中から特定の選択をしたものである。座標変換によって、通過量 f を消去し、回転量 l と運動量 P の成分を1つ（z方向の運動）にまで簡略化できる：
(125)
したがって、ポアンカレ群によって記述される対象は、一般に：
- エネルギー E
- 運動量 P
- 固有の回転量 l
を持つ。
回転量は質量 × 長さ × 速度 であり、次元としては M L² T⁻¹ となり、プランク定数 h と同じ次元を持つ。
スリアウが開発した「幾何学的量子化」の手法（『動力学系の構造』、ダノー出版、1973年参照）によれば、この回転量は次のように比例する必要がある：
(125b)
半整数値でなければならない。すなわち、光子では1、電子、陽子、中性子、ニュートリノおよびそれらの反粒子では1/2となる。