群と物理学の共随作用運動量
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質量非ゼロのスピン粒子。
光子やニュートリノのように質量ゼロの粒子とは異なり、エネルギーと運動量の間に直接的な関係はもはや存在しない。
(131)
m を静止質量とし、これはバーグマン群から現れる質量と同一視できるとすると、以下の式が成り立つ：
(132a)
(132b)
ここでは、以下の粒子に限定する：
プロトン
電子
中性子
およびそれらの反粒子。
粒子には、ポアンカレ群からは生じないさまざまな電荷や属性がある：
- 電気的電荷 e = ±1
- バリオン数 cB = ±1
- レプトン数 cL = ±1
- ミュオン数 cm = ±1
- タウ数 ct = ±1
- 電磁比（磁気モーメント比）v
これらのすべての量を反転することは、C対称性に相当する。したがって、これらを以下の表のようにまとめることができる：
(133)
この磁気モーメントは、スピンsに電磁比vを掛けたものに等しい。
(134)
ここではスピンに太字のsを使用した。これは、粒子のスピンの方向が任意であることを意味する。一方、スピンの大きさは粒子の固有の特徴であり、幾何学的回転の量子化により、本質的に不変である。
C対称性、すなわち電荷の共役変換は、電磁比vを反転させるため、磁気モーメントも反転する。
永久磁石。
鉄の軟磁性体を十分強い磁場に置き、その後磁場を弱めると、金属は永久的な磁化を保つ。一体何が起こったのか？
磁場により電子のスピンが整列し、それらは微小な磁石、すなわち小さな磁気双極子として振る舞う。
しかし、なぜその整列方向を維持するのか？ これは模倣によるものである。各電子は隣接する電子が作る磁場に従って整列する。他の電子も同様に整列するため、すべての磁気モーメントは平行を保ち続ける。まるで「空間のパヌルジュ」である。金属を加熱したり叩いたりしない限り、この整然とした電子配置は維持される。
反物質の磁気モーメント。
電荷共役（ディラックの意味における物質と反物質の変換）は、電磁比vの反転を引き起こすため、磁気モーメントも反転する。ただしスピンは変化しない。
もちろん、このC対称性は粒子のエネルギーや運動量には影響しない。
ローレンツ群の4つの成分。
前述の通り、ローレンツ群Lの要素Lは公理的に定義される。以下を満たさなければならない：
(135)
(136)
この定義を満たすすべての行列Lは、群Lに属する。これは(4,4)型の行列であり、例えば以下に作用することができる：
(137)
すなわち時空に作用する。したがって、これらの行列がこの空間で対称性を生成する可能性があるかどうかを問うのは自然である。たとえば、xを-xに変えることは可能だろうか？ また、これらの行列は、ある操作を行うものと行わないものに分類できるのだろうか？
かつて（英語で言うなら「はるか昔」）、この問題はすでに調べられ、ローレンツ群が実際には4種類の行列で構成されていることが示された。
Ln — 空間も時間も反転しないもの
Ls — 空間のみを反転するもの
Lt — 時間のみを反転するもの
Lst — 空間と時間の両方を反転するもの
このような集合を「成分」と呼ぶ。したがって、ローレンツ群は4つの成分を持つ群である。
すぐに、上記の各部分集合に属する4つの行列を構成できる：
(138)
An = 1（単位元）はLnに属する：空間も時間も反転しない。
As はLsに属する：空間を反転する。
At はLtに属する：時間を反転する。
Ast はLstに属する：空間と時間の両方を反転する。
群（ここではローレンツ群の部分群）を形成するには、行列の集合が、考慮中の(4,4)型の単位元1を含まなければならない。この条件を満たすのはLnの行列のみである。これらは「ローレンツ群の部分群」を形成する。この集合は群の単位元を含むため、「群の単位成分」とも呼ばれる。他の行列集合は部分群を形成しない（単位元を含まないため）。
注記：
(139) At = - As Ast = - An
このとき、Lo = Ln » Ls という集合を考えることができる。これはローレンツ群の部分群であり、「正時性」と呼ばれる[1]。一方、Lac = Lt » Lst という集合は群ではないが、時間反転に関連する成分の集合であり、「反時性」と呼ばれる[12]。完全なローレンツ群は以下の通りである：
(140) L = Lo » Lac
しかし、また次の要素：
(141) m Lo （m = ±1）
が、完全な群をカバーしていることも注目すべきである。