群と物理学の共随伴作用運動量
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ポアンカレ群の四つの成分。
ローレンツ群からポアンカレ群を構成できる。すでに述べた通りである：
(142)
C は「時空並進」のベクトルである。
(143)
このポアンカレ群もまた四つの成分を持ち、それぞれローレンツ群の対応する成分と関連している。
上記では、群がその運動空間に作用する様子を示している。しかし、興味深いのは、四つの成分が「運動量」に与える作用である。参照：Souriau, Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod 1973（英語版はBirkhauser 1997）、第III章、197ページ、「空間および時間の反転」という項。
ポアンカレ群に付随する運動量の成分を思い出そう：
E：エネルギー
p：運動量
f：通過量
l：回転量
Souriauの表記に合わせて、次のように呼ぶ：
- Ln：ローレンツ群の恒等成分
- Ls：空間反転成分
- Lt：時間反転成分
- Lst：空間および時間の両方を反転する成分
C が時空並進であるため、ポアンカレ群の四つの成分は以下の通りである：
gp ( Ln , C)：恒等成分
gp ( Ls , C)：空間反転
gp ( Lt , C)：時間反転
gp ( Lst , C)：空間および時間の両反転
運動量の成分への影響を調べよう。群がその運動量空間に作用する公式を検討する必要がある：
(144)
P は以下の四元ベクトルである：
(145)
分析すべき行列を書くと：
(146)
ここで l = ±1 かつ m = ±1 である。
Ln = L( l = 1 ; m = 1)
Ls = L( l = -1 ; m = 1)
Lt = L( l = 1 ; m = -1)
Lst = L( l = -1 ; m = -1)
(147)
(148)
次に、回転量と通過量への作用を検討する。
(149)
しかし、我々の関心対象では C = 0 である。
(150)
したがって l' = l かつ f' = l m f
これより次の結果を得る：
(151)
gp ( Ln , C)：E → E；p → p；f → f；l → l
gp ( Ls , C)：E → E；p → -p；f → -f；l → l
gp ( Lt , C)：E → -E；p → p；f → -f；l → l
gp ( Lst , C)：E → -E；p → -p；f → f；l → l
反転操作は、常に回転量 l を変化させない。
一方、時間反転とエネルギーの反転、 E → -E は同義である。
回転量は量子化されたとき、スピンと同義となる。いずれの反転もこれを変化させない。
スピン（粒子の回転ベクトルの大きさとしての）は、単なる数値である。
静止している粒子のエネルギーは mc² である。
時間反転は質量 m の反転と同義である。
空間反転は質量を反転させない。
Souriauは、上記の二つの成分を「正時的（orthochrone）」、残りの二つを「反時的（antichrone）」と呼んでいる。
彼は、これにより負の質量の問題が生じることに注意している。物理学者たちはこの問題を好まない。なぜなら、エネルギーが +mc² と -mc² の二つの粒子が衝突した場合、何が起こるのかという疑問が生じるからである。
完全な消失が起こる。これは単なる物質と反物質の消失（光子を放出する）とは異なる。むしろ、完全に何も残らない現象である。
負質量の問題を回避するため、Souriauは二つの解決策を提示している。第一は、負質量の粒子は存在しないと単純に決めるもの。第二は、反時的変換を排除することである。
言い換えるならば：
- 神は、その無限の知恵の中で…
我々自身の研究の出発点となる要素をさらに構築していこう。