群と物理学の共随伴作用運動量
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ポアンカレ群の中心拡大。
このような拡大は、J.M.ソリアウの『動力学系の構造』に記載されている。彼の幾何学的量子化法により、群から量子力学の式を再現できる。たとえば、非相対論的質点を記述するバーグマン群は、非相対論的なシュレーディンガー方程式を導く。
出発点はガリレイ群である。これは次の形の(5,5)行列で構成される。
(152)
回転行列は3つのパラメータ（オイラー角）に依存するため、群の次元は10である。
以下の記法を用いる：
(153)
(154)
時空に対応する：
(155)
いくら奇異に思えても、群の運動量空間への共随伴作用の構成において、質量mは幾何学的対象として現れない。これは、群の非自明な拡大、すなわちバーグマン群（1960年）を介してのみ可能となる。
(156)
スカラーfの存在により、この群の次元は11となる。
この群は5次元の時空空間に加え、追加の1次元z空間上で作用する。その作用は以下の通り：
(157)
バーグマン群の運動量空間への共随伴作用はすでに上記で示した。スカラーfの付加により群の次元が1増し、運動量にも新たな成分が加わる。この成分は質量mと同一視される（なお、この質量は保存される：m' = m）。
バーグマン群から出発し、その幾何学的量子化法を用いることで、ソリアウは非相対論的なシュレーディンガー方程式を構成できる。
相対論的量子方程式はクライン-ゴルドン方程式である。したがって、この方程式がどの群から導かれるかを調べるのは自然な流れである。その群は中心拡大である：
(158)
「pe」は「拡張されたポアンカレ群」を意味する。ここでは、ローレンツ群Loの正時的部分群からポアンカレ群を構成している。
この群に対応する空間も5次元である：
(159) ( t , x , y , z , z )
この拡大はバーグマンのものより単純であるが、実際には相対論的理論では常に扱いやすい。付随的に、1行目の1とfの間には、0 = (0 0 0)という行ベクトルしか入れられないことが示される。
幾何学的量子化法により、クライン-ゴルドン方程式が得られる。群の運動量空間への作用に関して、以下の結果が得られる：
(160)
Jpe = { c , M , P } = { c , Jp }
計算は簡単である。実際、ポアンカレ群の運動量空間への共随伴作用の計算と完全に類似している。
逆作用を計算する：
(160 b )
次に、内積（双対性）の不変性を表す：
(160 c)
この計算を乗り越えられれば、非常に良い兆候である。それは、あなたがこの複雑な世界にようやく入り込んできたことを意味する。
したがって、保存されるスカラーcが現れる。その唯一の役割は保存されることである。これは何を意味するのか？説明はない。単に「保存される何か」である。たとえば電荷として解釈できる。
直感的な発想として、このような拡大を複数回行うことが考えられる：
(161)
後で示すように、この操作は無限に繰り返すことができ、各回ごとに新たなスカラーが加わる：
(162) Jpe = { c₁, c₂, c₃, ..., M, P } Jpe = { c₁, c₂, c₃, ..., Jp }
共随伴作用は以下の通り：
(163)
このとき、運動量の成分の離散値が粒子の電荷に対応すると考える。
読者は「確かに、例えば6行を追加すればよいのでは？」と疑問を呈するかもしれない。その場合、以下の保存スカラーが得られる：
(164)
c₁ = e（電荷）
c₂ = cB（バリオン数）
c₃ = cL（レプトン数）
c₄ = cm（ミューオン数）
c₅ = ct（タウ数）
c₆ = v（磁気モーメント係数）
10次元空間：
(165) ( x , y , z , t , z₁ , z₂ , z₃ , z₄ , z₅ , z₆ )
(166)
再び、ローレンツ群Loの正時的部分群Lo（恒等成分）を中心に群を構成している。
この2成分群は、粒子と相互作用せずに伴う6つのスカラーを単に生じさせる。運動量は以下のようになる：
(167) Jpe = { q, cB, cL, cm, ct, v, Jp }
ここでJpは「ポアンカレ成分」である。しかし、これには限られた意義しかない。