群と物理学における共随伴作用と運動量
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私たちは、ある冒険に踏み出す準備が整った。つまり、単純な行列を書き、ある数のパラメータに依存する群を定義し、その群が次元が一定の空間（ここでは10次元）に作用する可能性を想定する。その後、ブーストロフェドン（bous：牛、strophedein：畝を耕す）の手法に従って、群の運動量空間における「共随伴作用」を計算し、その定義、属性、成分、およびその共随伴作用がそれらの成分にどのように作用するかを明らかにした。そして、その作用に「意味」を、物理的な「解釈」を与えることを試みる。
ここで、これまでの道のりを振り返り、より複雑に見える群を再び取り上げよう。この群は、以下の共随伴作用をもたらした：
(168)
その結果、この「点状の対象」、すなわち「質点」の成分が直ちに現れた。
(169)
(170)
JB = { E , m , p , f , l } JB = { E , m , px , py , pz , fx , fy , fz , lx , ly , lz }
元々、この謎の運動量が11個のスカラーから構成されるべきであることは分かっていた。なぜなら、その数は群の次元に等しく、11であるからである。バーグマン群の行列要素を再確認してみよう：
(171)
a は「直交行列」であり、「3次元空間における回転に関連する」行列である。2次元の場合にその形を明示した。この場合、行列は回転角 a のみに依存する。3次元では、オイラー角 a, b, g の3つのパラメータに依存する。
速度ベクトル v は3つの追加パラメータをもたらす：
vx, vy, vz
空間的平行移動 c はさらに3つのパラメータを加える：
Dx, Dy, Dz
時間的平行移動はさらに1つのパラメータ e = Dt を加える。
合計：10個。
さらに、量子世界に関連するとされる謎の11番目のパラメータ f を加える。よいだろう。
総計：11個。よって、11成分からなる運動量であり、以下のように表せる：
(172)
JB = { J1 , J2 , J3 , J4 , J5 , J6 , J7 , J8 , J9 , J10 , J11 }
これらの成分の間の関係、それらがどのように相互に結合し、まとまっていくかを計算した結果、以下の構造が明らかになった：
- スカラー（E と m）
- ベクトル（p と f）
- 行列（l）
まるで「人間には頭が1つ、腕が2本、脚が2本ある」と言うようなものである。しかし、そのような「構成要素」はどのように「関節」を介してつながり、どのように動くのか？
その後、共随伴作用が、群が運動量の各要素にどのように作用するかを明確に示した：
(173)
この表を見ると、この有名な運動量には、群の作用に対して不変な成分 m が存在することがすぐにわかる（この成分は当初の任意の名前 J2 でもよい）。これは単なるスカラーであり、群の作用に影響されない。
私たちは、この性質が非相対論的宇宙における「質量 m」の性質とよく一致すると考えた。
この運動量の式は、質点に関連する運動量の各成分（属性）の値を提供する。私たちは物質の状態を追跡する：それが回転している（a）、空間的に移動している（c）、時間的に移動している（e）、速度 v で動いている、そしてさらに謎の5次元 z 方向に、量 f だけ移動している。そのことについて、「すべては量子に関連している」と言われている。
よいだろう。
運動量は、共随伴作用を通じて変換される。ある「状態」から：
(174)
別の「状態」へと移行する：
(175)
そこで、次のような「基本状態」を想定してはどうか：
(176) JB = { 0 , 0 , 0 , 0 , 0 } = { 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 }
この状態から、共随伴作用によって、私が認識できる属性が現れるだろう。
しかし、共随伴作用は質量 m を変えないため、m を0に設定すると、その値は変わらない。よって、基本的な対象から出発しなければならない：
(177)
JB = { 0 , m , 0 , 0 , 0 } = { 0 , m , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 }
この対象は「エネルギーを持たない」。群の作用によって、エネルギーが与えられる。同様に、運動量、並進、回転も与えられる。
運動エネルギー：
(178)
運動量（物理学者の厳格な立場では「運動量」ではなく「運動量の量」と呼ぶ）：
(179) m v
回転、すなわち「固有の運動量」のようなもの。まるで、この質点が自ら回転しているかのように（たとえば、質量 m の小さな金属球が、点状の物体として扱えるほど小さければ、そのような状態もあり得る）：
(180)
残るは、物理学者にとって極めて困惑させる対象、「並進」である。E が私の質点に作用すると、当初は存在しなかった「並進属性」が与えられた。その成分は以下の通り：
(181)
群の行列要素はすべて独立な量として扱われた。これは「最も一般的な並進」である。
結局、人間に対して作用すると、その人は「並進」され、さまざまな状態に置かれる。
ここでは、最も一般的な並進が想定されており、私の質点は、次のような状態にある：
- 回転している：a
- 空間的にずれている：c
- 時間的にずれている：e
- 速度 v で動いている
- 謎の5次元 z 方向に、謎の量 f だけずれている
あるいは：
- 空間的に距離 c から観測されている
- 速度 v で動いている観測者によって
- 角度 a から
- e = Dt だけ前または後に撮影された映像に基づいて
- 5番目の空間的視点 z から、観測者が謎の量 z だけずれている
すべてが「同じものに帰着する」とされる。