群と物理学の共随伴作用運動量
| 16 |
|---|
以前、f の移動を、最初のアイデアに従って消去できることを見た。すなわち、質点が距離 v で移動している（あるいは近づいている）と仮定し、時間間隔 e = Dt の間に移動距離 c = v Dt を生じると考えるものである。
逆の視点では、観測者が速度 v で移動し、時間 Dt の間に距離 c = v Dt を進むと考えることになる。
したがって、この移動は常に「粒子の運動に従って追いかける」ことで消去可能である。すなわち、速度 v と経路 c を結びつけることによって。
数学的には、これは単なる部分群であり、速度・時間・経路の関係を強制的に結びつけた「移動」の群である。その際、ローカル計測器（速度計、時計、距離計）の目盛りは完全に独立していない。
物理的には妥当である。
しかし、まだ奇妙な地下的な運動が残っている。次元 z に追加された量 f の付加である。「量子的地下空間」という、プラトンの投影ランタンの一つの側面であり、我々がアクセスできないものとされている。
まあ、よい。
ここから、相対論的点粒子の移動を扱う群、ポアンカレ群に戻ろう。
(182)
標準的な「直時性」バージョン。その運動量は：
(183) Jp = { M , P } = { M , p , E }
(184)
数えると、合計10個である。だが、次のようにも書ける：
(185)
Jp = { J1 , J2 , J3 , J4 , J5 , J6 , J7 , J8 , J9 , J10 }
私は共随伴作用を構成した。この新しい「質点」が、相対論的にどのように移動するか、その感覚がわかった。運動量の成分の中にエネルギー E というスカラーがあることを知っている。しかし、質量は消え去った。あるいは、より正確には、エネルギーに吸収された。
質量とエネルギーは「同一の実体」、すなわち エネルギー-物質 となった。したがって、この「状態」を記述するのに1つのスカラーで十分であるのは当然である。
再び問いを投げかける。ある「基本状態」（もちろん観測者自身も同様の「基本状態」にいるという相対的なもの）が存在しないだろうか。
私は共随伴作用の式を得た：
(186)
第一行を詳しく書くと：
(187)
質量がゼロでない粒子の場合、この相対的な基本状態において、初期運動量がゼロであると仮定できる。これは「静止している粒子」であり、その「静止エネルギー」Eo を持つことになる。
したがって、ローレンツ群の要素を作用させることで、この粒子に運動量を与えることができる：
(188)
この操作は、「質量ゼロの粒子」、すなわち光子やニュートリノのように、常に光速 c で移動する粒子には不可能である。これらは決して静止しない。常に運動量 p を持ち、そのエネルギー E とも関係している。
非相対論的物理学者は、質量がゼロの粒子が運動量を持つという点に少々違和感を覚えるかもしれない。
しかし、相対論的物理学者は、「これは数学的対象である」と言い、次のように書くだろう：
(189)
そして、まったく気にしない。
残る第二の関係式：
(190)
もし可能なら、これを解読してみよう。
C は時空並進（ Dx , Dy , Dz , Dt ）
(191)
さらに詳しく見ていく。
(192)
(193)
(194) (195)
おや、これは前の式の転置になっている。
数学者は言うだろう。「これは明らかだ。次の定理に基づくものである（演習として自ら確認してほしい）：
二つの行列が乗算可能であるとき、次の関係が成り立つ：
(196)
行列の積の転置は、各行列の転置を逆順に掛けたものに等しい（順序が逆になる）。
