群と物理学の共随伴作用運動量

群と物理学における共随伴作用、運動量

問題を少し拡張するために、これらの軌道を……任意のものと見なしてもよい：

(205)

質量 m を持つそれぞれの粒子は、異なる速度で運動しており、それらは運動量空間内の図示点に対応する。しかし、これらの粒子には共通点がある。すべて同じ質量 m（および同じスピンなど……）を持っている。

したがって、ある運動 M1 から別の運動 M2 へ移行するための群作用が存在する。これは共随伴作用であり、「群によって駆動される」ものである。 (206)

前回の二つの図において、大きな球で図示された物体が運動している様子を示した。球の大きさは、質量が異なる粒子の運動を示唆している。しかし、これはまた運動そのものである。

この数学的対象、すなわち「運動」は、運動空間に属する。したがって、それは運動量空間 J における像を持つ。

しかし、質量 m > m のこの粒子は、他の粒子とは「異なる種類」である。質量 m の粒子と質量 m の粒子を同一視するような群作用は存在しない。

（ここではバーグマンの動的群に属しているため）共随伴作用によって得られるのは m' = m であり、質量は保存される。

時空空間 (x, y, z, t) において、点粒子は時空のどこにでも存在しうる。ある時刻 t に、座標 (x, y, z) には任意の質量、任意の電荷を持つ粒子が存在しうる。したがって、この空間を使って粒子を種類別に分類し、ある種の「箱」に仕分けることはできない。

物理学者は、「静止している粒子」を分類するかもしれない。それはエネルギー固有値 E₀, E₁, E₁, …… に対応する。

もし「動的に」分類するならば、エネルギーではなく、運動そのもの を分類する。

分析対象となるのは、群によって制御されるすべての粒子の運動の集合である。このとき、共随伴作用を分析の道具、すなわちふるいとして用いる。

図を変えてみよう：

群 G の要素 g を一つ与えると、それによって共随伴作用が生じ、運動量の変化が決定される。概略的に：

(207)

群は運動を変えることができる。運動空間内の図示点 J₁ から図示点 J₂ へ移行する。物理空間では運動が変化する。あなた自身が、運動を変える。 すべての困難、言語的な問題は、数学者と物理学者が「運動」という語に対して異なる定義を持っていることに起因する。物理学者にとって運動とは、何かが「展開される」様子を観察することである。一方、数学者にとって：

• それは「すでにすべて展開されたもの」

• あるいは運動量空間の一点である。