群と物理学の共随伴作用、運動量
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では反物質はどうか？
それは追加変数 z と直接関係している。
著書『幾何学と相対性』（Hermann 出版社、1964年、第7章：五次元相対性、p.413）において、スリアウはその反転が電荷共役に対応することに注目している。
この第五次元を「ファイバー」として表現できる。時空を2次元 x と t に制限する：
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この時空面に「ファイバー」z を導入する。各点 (x, t) において、z の正負の方向にそれぞれ対応する「ファイバー」が広がる。
この表面は、次元 (n+1) の二つの空間の境界として機能する。図示では (2+1=3) 次元であり、半空間 (z > 0) と半空間 (z < 0) が存在する。z = 0 の面上に位置する。
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運動量空間では、三種類の種類を示している：
- 物質種
- 反物質種
- 光子種
運動空間では、それに対応する運動が描かれる。
- 物質は半空間 (z > 0) 内を運動する
- 反物質は半空間 (z < 0) 内を運動する
- 光子は境界面 (z = 0) 上に存在する：それらは自らの反粒子である。
私の部分群 Go（正時性）において、同じ種類に属する要素であれば、一つの運動から別の運動へ、すなわち一つの運動量から別の運動量へ移行できる。
しかし、物質粒子を反物質粒子や光子に変換することはできない。
これらは三つの異なる種類である。
これらは、完全空間 (z, x, t) 内で異なる「水域」を横断するが、時空しか「見られない」観測者にとっては、( x, t ) における軌道は区別できない。
我々が群に次元を一つ追加し、それを五次元空間に作用させたことにより、謎のスカラー c が生じたことを既に見た。後で、この c をどのように操作し、群作用に対して感応可能にするかを示す。現時点では、その性質はやや曖昧な「電荷」として扱うことができる。光子の電荷はゼロである。
こうして、反物質の本質について少しは明確になってきた。反物質にはエネルギー E と運動量 p が存在する。
また、拡張されたポアンカレ群（五次元空間に作用する）を通して記述される反物質は、エネルギー E（正で、質量も同様に正）と与えられた運動量を持つ物体の二つの異なる運動に対応することもわかる。この運動の第二の側面が z 方向の運動を指す。なぜなら、拡張されたポアンカレ群によって扱われる点質量は (x, y, z, t) ではなく、(z, x, y, z, t) の空間内を運動するからである。
したがって、物質は半空間 z > 0 内に存在するとされる。
反物質は半空間 z < 0 内に存在する。
光子は平面 z = 0 上に存在する。
しかし、プラトン的観測者——洞窟の奥深くに隠れ、(z, x, y, z, t) の運動を直接見ることはできないが、洞窟の壁に映る影 (x, y, z, t) しか見られない者——にとっては、これらはまったく同じものである。
もしあなたが洞窟の奥に座って中性子と反中性子が通り過ぎるのを見たとしても、次のことは一見して分からない：
- 一方が z > 0 を航行していること
- もう一方が z < 0 を航行していること
運動量空間を、エネルギーが正の粒子（光子を含む）のみを扱う部分空間 J+ に制限した以上、
我々の反物質もまた、正のエネルギーと正の質量を持つことになる。
しかし、ポアンカレ群の反時系列成分を再び取り入れると、問題が直ちに再発する。
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この反時系列部分には、すべての粒子（光子、物質、反物質を含む）に対してエネルギーを逆転させる共随伴作用をもたらす要素が含まれる。完全なゲームフィールドを一瞥する。
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問題は、ポアンカレ群の反時系列要素が、共随伴作用を通じてエネルギーを逆転させること（E → -E；m → -m）を引き起こす点にある。
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スリアウの「解決策」（『動力学系の構造』Dunod-France 出版、1973年、p.200 参照）は、神がそんなものを創造するほど愚かではないと仮定し、彼の無限の知恵によって、ポアンカレ群から反時系列部分を慎重に切り離したのであり、各物質種がその場所に留まり、牛がしっかりと守られているということである。
しかし、別の可能性も検討できる。