f4202 作用共随的な群の運動量空間上の物質と反物質の幾何化。1：群が10次元空間上に作用するときの運動量の追加スカラー成分としての電荷。反物質の幾何的定義。(p2) - 第3の成分：
(14)
ローレンツ群の成分 Lt から構成される。
- および第4の成分：
(15)
ローレンツ群の成分 Lst から構成される。
群はその運動量空間上に作用する[1]。ポアンカレ群に関連する運動量空間を Jp と表す。
…Jp の各個別の要素 Jp は、この群によって記述される相対論的質量点の特定の運動に対応する。この群の運動量上の共随作用を計算することができる[1]。
運動量は10の成分から構成される（群の次元に等しい）。これらの成分は：
(16) Jp = { E, p_x, p_y, p_z, f_x, f_y, f_z, s_x, s_y, s_z } = { E, p, f, s }
E はエネルギーである。
p は運動量ベクトルである：
(17)
f は通過ベクトル [1] である。
(18)
s は3×3の反対称行列であり、独立成分は
(19)
{ s_x, s_y, s_z }
である。
運動量は行列形式で表すことができる[1]、ここで：
(20)
および：
(21)
四元運動量ベクトルを導入する：
(22)
(23)
あるいは：
(24)
その後、ポアンカレ群の共随作用は行列形式で書くことができる：
(25)
より明確には：
(26)
…ポアンカレ群のすべての成分が運動量空間の成分に与える影響を調べることは興味深い。特定の行列に注目することができる：
(27)
A は関連するローレンツ行列である。
共随作用は：
(28)
(29)
ここで I_4 は完全なポアンカレ群の単位成分である。
対応する共随作用は：
E → E ; p → p ; f → f ; s → s
— これは空間を反転させる。対応する共随作用は：
E → E ; p → -p ; f → -f ; s → s
— これは時間を反転させる。対応する共随作用は：
E → -E ; p → p ; f → -f ; s → s
— これは空間と時間を同時に反転させる。対応する共随作用は：
E → -E ; p → -p ; f → f ; s → s
J.M. サウリアー [1] が指摘したように、2つの成分
はエネルギー E → -E の反転とともに現れ、これは質量 m → -m の反転を意味する。
以下の行列の集合を定義する：
(30)
オリジナル版（英語）
f4202 Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 1 : Charges as additional scalar components of the momentum of a group acting on a 10d-space. Geometrical definition of antimatter. (p2) - A third component :
(14)
built with the component Lt of the Lorentz group.
- and a fourth one :
(15)
built with the component Lst of the Lorentz group.
A group acts on its momentum space [1]. Call Jp the momentum space associated to the Poincaré group.
...Each peculiar moment Jp Jp, is a peculiar movement of the relativistic mass point, described by this group. On may compute the caodjoint action of the group on the momentum [1].
The momentum is a set of 10 components (equal to the dimension of the group). These components are :
(16) Jp** **= { E , px , py , pz , fx , fy , fz , sx , sy , sz } = { E , p , **f **, **s **}
E is the energy.
p is the impulsion vector :
(17)
f is the passage vector [1].
(18)
** ** s is an antisymmetric (3,3) matrix, whose independant components are
(19)
{ sx , sy , sz }
The momentum can be arranged into a matrix form [1], with :
(20)
and :
(21)
Introduce the impulsion-Energy four-vector :
(22)
(23)
or :
(24)
Then the coadjoint action of the Poincaré group can be written into a matrix form :
(25) )
More explicitely :
(26)
...It is interesting to study the impact of the different components of the complete Poincaré group on the components of its momentum. We can concentrate on peculiar matrixes :
(27)
A is the associated Lorentz matrix.
The coadjoint action gives :
(28)
(29)
and is the neutral component of the complet Poincaré group.
The corresponding coadjoint action is : E --> E ; **p **--> p ; f ---> f ; s ----> s
which reverses space. The corresponding coadjoint action is :
E --> E ; **p **--> - p ; f ---> - f ; s ----> s
which reverses time. The corresponding coadjoint action is :
E --> - E ; **p **--> p ; f ---> - f ; s ----> s
which reverses both space and time. The corresponding coadjoint action is :
E --> - E ; **p **--> - p ; f ---> f ; s ----> s
As pointed out by J.M.Souriau [1] , The two components
go with the inversion of the energy E ----> - E , so that it implies the inversion of the mass m ----> - m
Define the following sets of matrixes :
(30) .