共随伴作用による物質と反物質の幾何化

f4203 物質および反物質の幾何学的構造：群がその運動量空間上で共随伴作用するもの。1：群が10次元空間上で作用するときの運動量の追加スカラー成分としての電荷。(p3) 反物質の幾何学的定義。完全なポアンカレ群は：

(31) Gp = Gn U Gs U Gt U Gst

中性成分Gnは最初の部分群である。正時性群[1]：

(32) Go = Gn U Gs

はポアンカレ群の部分群でもある。

反時性部分群[1]：

(33) Gac = Gt U Gst は群ではない。明らかに：

(34) Gp = Go U Gac

…[1]に示されているように、Gac = Gt U Gst の要素が存在すると、時間の逆方向に進行する物質の特殊な運動として、質量が負の粒子が生じる可能性がある。彼の本[1]では、J.M. Souriauは2つの解決策を提案している：

(35) Go = Gn U Gs

2) ポアンカレ群の中心拡大。 (36)

は、正時性部分群から構成されたポアンカレ群の中心拡大である。対応する作用は：(37)

zは追加の次元、つまり第5次元である。群の次元は11となり、運動量には対応する追加成分が生じる：

(38) Jpe = { c , M , P } = { c , Jp }

共随伴作用により得られるのは：(39)

…この11番目の成分cの物理的意味はこれまで明確に理解されていなかった。J.M. Souriauの幾何学的量子化法により、スピンは量子化されるべきであることが示されている[1]。通過がゼロになる座標系を選び、z方向の運動のみを考慮すると、運動量行列Jpは：

(40)

ここでEはエネルギー、pは運動量ベクトルの大きさ、sはスピンである。

光子は：

(41)

で表され、右と左の2つの異なるヘリシティ（偏光）を持つ。

ニュートリノは：

(42)

で表され、これも2つの異なるヘリシティを持つ。

質量がゼロでない粒子、例えば陽子、電子、中性子は：

(43)

で表され、ここで：

(44)

(45))

…拡張されたポアンカレ群(36)をKostant-Kirilov-Souriau法によって扱うことで、[1]では相対論的量子Klein-Gordon方程式が導出される。同様に[1]では、非相対論的Bargmann群（1960年）は非相対論的シュレーディンガー方程式を導く。

では反物質は？

…以前の本[2]では、J.M. Souriauは5次元の一般相対性理論を展開し、時空（x、y、z、t）に追加の次元zを加えた。

…その後、参考文献[2]、第7章、413ページでは、第5次元の反転（z → -z）を電荷共役（または電荷反転、C対称性）と同一視し、物質を反物質に変換するものとしている。

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