物質と反物質の幾何化
群の余随伴作用をその運動量空間上で行うことによる。1：
電荷を、10次元空間に作用する群の運動量の追加のスカラー成分として。
反物質の幾何学的定義。(p2)
- 第三の成分：
(14)
ローレンツ群の成分 Lt を用いて構成される。
- そして第四の成分：
(15)
ローレンツ群の成分 Lst を用いて構成される。
群はその運動量空間に作用する[1]。Jp をポアンカレ群に関連付けられた運動量空間と呼ぶ。
…各々の固有モーメント Jp 
Jp は、この群によって記述される相対論的質量点の固有の運動である。群の運動量への余随伴作用を計算することができる[1]。
運動量は10個の成分の集合である（群の次元に等しい）。これらの成分は：
(16)
Jp= { E , px , py
, pz , fx , fy , fz , sx
, sy , sz } = { E , p , f , s }
E はエネルギーである。
p は運動量ベクトルである：
(17)
f は通過ベクトルである[1]。
(18)
s は反対称な (3,3) 行列であり、その独立な成分は
(19)
{ sx , sy , sz }
である。
運動量は行列形式に整理することができる[1]。ただし：
(20)
および：
(21)
運動量-エネルギーの四元ベクトルを導入する：
(22)
(23)
または：
(24)
すると、ポアンカレ群の余随伴作用は行列形式で書くことができる：
(25) )
より明示的には：
(26)
…完全なポアンカレ群の異なる成分がその運動量の成分に及ぼす影響を研究することは興味深い。特定の行列に注目することができる：
(27)
A は関連するローレンツ行列である。
余随伴作用は次を与える：
(28)
(29)
であり、完全なポアンカレ群の中性成分である。
対応する余随伴作用は：
E --> E ; p --> p ; f ---> f
; s ----> s
これは空間を反転させる。対応する余随伴作用は：
E --> E ; p --> - p ; f ---> -
f ; s ----> s
これは時間を反転させる。対応する余随伴作用は：
E --> - E ; p --> p ; f ---> - f
; s ----> s
これは空間と時間の両方を反転させる。対応する余随伴作用は：
E --> - E ; p --> - p ; f ---> f
; s ----> s
J.M.スーリオー[1]が指摘したように、二つの成分
はエネルギー E ----> - E の反転を伴うため、質量 m ---> - m の反転を意味する。
以下の行列の集合を定義する：
(30)
.
