物質と反物質の幾何学化は、
群の余随伴作用によってその運動量空間上で行われる。3：
ディラックの反物質の幾何学的記述。
反物質の最初の幾何学的解釈
フェインマンおよびいわゆるCPT定理に従って。（p3）
...さらに二つのセクターを探求する必要がある。第三のセクターでは、（l = -1；m = -1）要素が運動量と運動に与える影響を検討する。
...（l = -1）は{zi}を反転させる。我々の幾何学的定義によれば、この新しい運動は反物質に対応する。なぜならそれは空間の第二のセクター{ z1, z2, z3, z4, z5, z6, x, y, z, t }で起こるからである。
（m = -1）はPT対称性を与え、（x, y, z, t）の符号を反転させる。
...しかし（l m = +1）は電荷を不変に保つ。これは「PT対称的反物質」であり、フェインマンに従った反物質の幾何学的記述である。
...しかしこの群は反時間セクターに属するため、（余随伴作用により）粒子のエネルギーと質量は反転する。
...PT対称的対象はディラックの反物質と完全には同一視できない。なぜならそれは質量の符号を変えるからである。もしそのような粒子が存在すれば、正の質量を持つ粒子と完全な対消滅を起こしうる。
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図6：（ l= -1；m = -1）要素は通常物質の運動を反物質の運動へと変換する（z対称性）PT対称的対象の、時間を逆行する。
フェインマンの反物質観の幾何学的記述。
ディラックのものと完全には同一視できない：負の質量と負のエネルギー。
最後の要素はセクター（l= 1；m = -1）に対応する。
（l = 1）---> 運動は依然として物質のセクターにある：
z対称性なし。
（m = -1）はPT対称性を伴う。粒子は時間を逆行する。
（l = -1）：C対称性。電荷が反転する。
...これはCPT対称的物質であり、いわゆる「CPT定理」の幾何学的解釈に対応する。この定理は、粒子のCPT対称体はその粒子と同一であるべきだと主張する。それは正しくない。この運動は反時間的運動に対応する。粒子は時間を逆行するため、（余随伴作用により）その質量とエネルギーは負になる。
もしCPT対称的粒子が存在し、それらが通常粒子と衝突すれば、完全な対消滅が起こる。
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図7 ：（ l= 1；m = -1）の場合。CPT対称性に対応する。
しかし余随伴作用は負の質量とエネルギーを与える。
物質粒子のCPT対称体は物質粒子であるが、負の質量を持つ。
...次に、光子の運動と運動量への影響を検討する。z対称性はそれに影響しない：すなわち「反光子」は存在しない。光子のすべての電荷はゼロであるため、それは変化しない。それはその反粒子と同一である。
...正時間成分の余随伴作用は光子の運動と運動量を変化させるが、そのエネルギーは不変に保つ。図8を参照。
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図8 ：正時間要素の余随伴作用
光子の運動と運動量への。
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図9 ：反時間要素の余随伴作用は光子の運動と運動量への、
光子エネルギーを反転させる：それは時間を逆行して進む。
