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J.M.ソリオの太陽系に関する研究。

…この研究は、1989年にスイスのジュネーヴで開催された重力に関する科学会議においてJ.M.ソリオによって発表された。論文のタイトルは次のとおりであった：

太陽系における共鳴現象と非共鳴現象

…ソリオは、さまざまな惑星の公転周期の分析から出発する。地球は365日で太陽の周りを回る。金星の1年の長さは225日である。これら2つの数からソリオはフィボナッチ数列（各項が直前の2項の和である数列）を構築する。 successiveな項の比が黄金数に近づくことは知られている。彼はその値を公転周期と比較する。

30　　 太陽（29日）

55　　 なし
85　　 水星（88日）
140　　 なし
225　　 金星

365　　 地球。

590（1年7か月）：　　　　
火星（1年10か月）
955　　 なし
1545（4年3か月）：　　　　
ケレス・パラス（小惑星帯）
2500　　 なし
4045（11年）：　　　　
木星（11年10か月）
6545 なし
10590（29年）：　　　　
土星（29年5か月）
17135 なし
27725（76年）　　　　
天王星（84年）
44860 なし
72585（199年）　　　　
海王星（165年）、冥王星（248年）

…次に彼は惑星の組における共鳴を研究する。数学者たち（リウヴィル、フルヴィッツ、ボレル）は、ある与えられた数の「無理数性の度合いの尺度」、すなわちそれが有理分数から、2つの整数の比からどれほど「遠く」離れているかを測る数学的テストを構築した。
(a701)

ボレルは次の数を導入する：

q ( x , q) = (分母)2
* I
x - q I

q(x)
qが有理値をとるときの下限である場合。

xが有理数に近い場合、qはゼロに近づく傾向がある。与えられた数xの無理数性の尺度q(x)を示す曲線が得られる。すべての可能な値の中で、2つの数が最も無理数性が高い

• 黄金数：
  (a702)
  

• およびその平方：w2
  = 1 - w = 0,3820...

次の図に見られるように。
(a703)

図1：黄金数とその平方に対応する2つの特徴的なピークを示す図 q (x)

この関数q(x)は、いかなる観測資料とも関係がなく、純粋に数学的な対象である。見える隙間は有理分数（q = 0）に対応する。

次：公転時間。単位は地球の年。

水星：0,2408425

金星：0,6151866

地球：1,0000000

火星：1,8808155

ケレス・パラス：4,604

木星：11,86178

土星：29,45665

天王星：84,0189

海王星：164,765

冥王星：247,68

海王星と冥王星の公転周期の比を計算する。
(a704)

…2つの連続する周期の比を計算すると、これらの比が1/3と2/3の間にあることがわかる。5つの比が0.35と0.40の間にある。海王星-冥王星の組は共鳴的な組である。

ソリオは上記で言及したテストを惑星の組に適用する。

海王星-冥王星：x = 2/3
x 0,9980　　　　　　　　　　
q = 0,01

天王星-海王星：x = 1/2
x 1,0199　　　　　　　　
q = 0,04

天王星-冥王星：x = 1/3
x 1,0176　　　　　　　　　　
q = 0,05

金星-火星：x = 1/3
x 0,9812　　　　　　　　　　
q = 0,06

木星-土星：x = 2/5
x 1,0067　　　　　　　　
q = 0,07

…2つの遠い惑星、海王星と冥王星が例外的に強い共鳴を持つことがわかる。ソリオは、周期Pjのフーリエ解析に基づく以下の分析において、この特異な惑星の組を無視することにする：
(a705)

次の図ではIF(a)I4がプロットされている。
(a706)

図2：関数F(a)

…ソリオは値0,615と0,380に対して2つの有意なピークを見出し、図1のq(x)曲線と非常によく一致する。図3を参照。：
(a707)

図3。

…彼は、全体として太陽系は非共鳴系、あるいは弱い共鳴系であると結論する。彼は公転周期の確からしい値を構築するために逆フーリエ変換（相反）を行う。逆フーリエ変換
(a708)

は選択された線akから構築できる。彼は2つの特異な線を選択する：

a1 = w

a2 = w2

そして彼は以下の結果を得る。公転周期の真の値が示されている。
(a709)

図4：2つの特異な線 w と w2 に限定されたスペクトルに基づく惑星の確からしい周期P