ユーモアと数学
ユーモアと数学
2005年8月23日
タルディ教授、偶然にもクケットの陰関数方程式を発見
「タルディのビトイド」
この6次の陰関数方程式の極めてシンプルさに注目されたい。これはまったくの偶然の発見である。実はタルディは、数学の聖杯ともいえるもの、すなわちボーイ曲面の陰関数方程式をついにバランスの取れた形で見つけようと、再び作業に取り掛かっていたのである。この曲面は、1902年の夏の直前にゲッティンゲンでヴェルナー・ボーイによって発見された。この大学の若い学生であった彼は、それを超有名な数学者ヒルベルトに見せ、ヒルベルトは大いに関心を持ち、新学期に改めて検討することで学生と合意した。しかし悲しいことに、ボーイは跡形もなく姿を消した。彼がどうなったのか、また彼の墓を知る者はいない。ゲッティンゲン大学数学科では、彼に敬意を表して「無名数学者の墓」を作ろうという提案もあった。
発見の宮殿は四半世紀にわたり、この曲面の表現を展示していた。それは私が考案したもので、その後、数学者ジャン＝マリー・スリオーの息子であるジェローム・スリオーとともに、最初のパラメトリック表現を見つけた。それは『トポロジコン』の最終ページに掲載されている。
私の漫画『トポロジコン』からの抜粋
下部には、この物体の最初の合成画像を得ることを可能にしたBASICで書かれたプログラムがある。この作業を担当したのはコロナ（理工科学校）であり、世界中で見つかるボーイ曲面の合成画像はすべてこれらのパラメトリック方程式に基づいている。この物体は、「極」を囲む三つの醜い特徴的な折り目によって識別でき、これらはパラメータの調整不足によるものにすぎない。いつの日か、一分の暇があれば、タルディと私でこの偽の折り目の問題に取り組むつもりである。
宮殿がこの曲面を展示から外すことを決めたとき、私はそれを引き取るよう頼み、今では巨大な箱に入れて自宅に所持している。まるで卵を温めているかのようで、訪問者たちはとても興味を示す。
ここで、クリストフは問題をはるかに高い視点から取り上げ直す。アペリ（高等数学の教授で、盲人の数学者ベルナール・モランの弟子）は、陰関数方程式、つまり次のタイプの方程式を生み出した：
f ( x , y , z ) = 0
しかし、上司モランに助言を誤られ、彼はoz軸を対称軸とした。その結果、方程式は複雑で美しさに欠けるものとなった。系として、得られた曲面には…ウサギの耳がある。これはボーイ曲面の「ロジャー・ラビット」版である。しかし悲しいことに、これが利用できるすべてであり、世界中の数学の論文に見られるのはこの方程式である。しかしながら、はるかに単純な方程式が存在する。それは確信である。壮大なシュタイナーのローマ曲面の方程式を考えてみよ：
x 2 y 2 + y 2 z 2+ z 2x 2 - 2 x y z = 0
その豊かさは決して推測できないだろう。以下はタルディによって得られた画像である：
Winplotで描かれたシュタイナーのローマ曲面。原点に三重点。
軸上に六つの尖点
この画像はポワティエのリチャード・パリスが作成した優れたソフトウェアWinplotで合成された。
無料でダウンロード可能
こちらも参照 http://www.mathcurve.com/surfaces/romaine/romaine.shtml
ボーイ曲面も、ほんのいくつかの項を加えるだけで、同様に単純な方程式で記述できるはずである。それは6次である。三回対称性を持ち、したがってベクトル( 1 , 1 , 1 )が対称軸となる表現を探すのが適切であり、それにより変数x、y、zの巡回置換を行っても方程式は不変となる。さらに、座標の原点を三重点に置き、この点での接平面が直交するならば、最低次の項はまさにx y zである。（陰関数方程式x y z = 0は原点で交わる三つの平面を表す）。
したがってタルディは、曲面とその断面を表現できるソフトウェアを助けに、この方向で探求している。その一つを行っているときに、彼は偶然にも上記のビトイドの方程式にたどり着いたのであり、その際立った優雅さと単純さは評価されるべきである。
2005年8月27日: 創世記を書き換える
この発見は数学界に一定の騒ぎを引き起こし、MLFと密接に関わる一部の女性代表が激しく抗議した。しかし、一つの発見が別の発見を導くように、プラズマ物理学の専門家であるアメリカの研究者ケヴィン・ファインが次の方程式に興味を持った：
z ( y , y ) = x6 + y6 - x3 y2 - y3 x2
タルディのビトイドの3D拡張である。Matlabで得られた画像は以下の通り：
ケヴィン・ファインのフフノイド
ケヴィン・ファインのフフノイドの別視点
赤い曲線（概略図）は平面z = 0との交差を表す。
創世記には、神が男から借りた要素（あばらの一つ）から女を創造したと書かれている。これは逆を示唆しており、もちろん比喩的な図式によれば、男は2D構造、女は3D構造であり、前者は後者の単なる部分集合（平面z = 0による交差）にすぎない。
2005年8月28日付のケヴィン・ファインの反応は以下の通り：
Dear Jean Pierre
I am honored. Unfortunately I am too old (51) for a Fields Medal, but it is a great honor in itself to have your name attached to a curve. Imagine my pride in knowing that in the future a mathematician just might say, "Excuse me, but that is a Fine Foufounoide you have there."
Kevin
翻訳
親愛なるジャン＝ピエール、
光栄です。残念ながらフィールズ賞を受けるには年を取りすぎています（51歳です）。とはいえ、自分の名前が曲線に付けられるのは名誉なことです。将来、数学者が「失礼ですが、ご覧になっているのは見事なフフノイドです」と言うかもしれないと思うと、その誇りを想像してみてください。
ケヴィン
Dear Jean Pierre
I am honored. Unfortunately I am too old (51) for a Fields Medal, but it is a great honor in itself to have your name attached to a curve. Imagine my pride in knowing that in the future a mathematician just might say, "Excuse me, but that is a Fine Foufounoide you have there."
Kevin
翻訳
：
親愛なるジャン＝ピエール、
光栄です。残念ながらフィールズ賞を受けるには年を取りすぎています（51歳です）。とはいえ、自分の名前が曲線に付けられるのは名誉なことです。将来、数学者が「失礼ですが、ご覧になっているのは見事なフフノイドです」と言うかもしれないと思うと、その誇りを想像してみてください。
ケヴィン
**2005年8月24日以降の接続数 **：