数学 幾何学 表面 トポロジー
クロスキャップ表面をどのようにしてボー表面（右または左、お好みで）に変えるか
ステインァーのローマン表面を通じて。
イタリア語：アンドレア・サムブセット、ローマ大学
../../Crosscap_Boy1.htm
**2003年9月27日 - 10月25日 **
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これは「クロスキャップ表面」（仮想現実の画像で見つけたものと同様です）。この表面には、自己交差線の頂点となる2つの尖点があります。これは、バネピンで風船をつまむことで作ることができます。また、多面体の表現を作ることもできます。下のものは特に私たちにとって重要です。
表4には最も難しいことが記載されています。これらの物体を図で見ただけで理解するのは不可能だと感じます。モデルを作りましょう。簡単に言うと、尖点 C2 を「表面の内部へ引き込む」ことになります（余談ですが、これは意味がないのです。なぜなら、すぐに気づいたでしょうが、クロスキャップ表面は一方向の表面であり、外側と内側の面を持っていないからです）。この操作を続けると、表面は「自己交差」し、自己交差の集合は少し丸められて、8の字のような曲線になります。その結果、別途、三重点 T が作られます。
この表面は多面体の形で理解しやすくなり、下に示したものは、このオブジェクトをローマン表面に変換するためのものです（仮想現実のシミュレーションを参照してください）。その最も単純な多面体の形は、4つの立方体を組み合わせることです（ここでは3つだけ表示されています）。
表5：左は多面体バージョン、右は丸みを帯びたバージョンです。矢印は「絞る」ポイントを通ります。下には絞り始めの様子が示されています。
表6：絞りが行われ、特異点 B が作られます。実際には、両側から絞るため（時間節約のため）、2つの特異点 S1 と S1 が作られ、その後2つの尖点が作られます。この時点で、カートン、ハサミ、テープがなければ、どうにもなりません。
表7：ここでは単に異なる尖点を移動させただけです。C2 は「明確」ですが、C3 と C4 の尖点を識別するのはおそらくより困難です。しかし、それらは自己交差線の端にあります。C3 の上には単に私が「ポジコン」と呼んだものがあります。これは正の曲率が集中する点です（負の曲率が集中する点は「ネガコン」と呼びます）。このオブジェクトを少し変形すると、ステインァーのローマン表面の多面体の形になります（ステインァーがローマで考案したものです；仮想現実での図を参照してください）。
したがって、このオブジェクトの作成は完了しました。表面にはさまざまな種類があり、それぞれのルールに従って異なります。自己交差しない表面は「埋め込み（R3における球面やトーラス）」と呼ばれます。一方、自己交差するが接平面が連続的に変化し、退化しないものは「浸漬（immersion）」と呼ばれます。例えば、クラインの壺の古典的な表現です。R3では、クラインの壺の埋め込み表現は存在せず、必然的に自己交差します。浸漬には自己交差する集合があり、尖点は含まれません。これらの集合は連続的な曲線ですが、二重点や三重点で交差することがあります。観察：球面は埋め込みではなく、自己交差することで実現できます。これは反転する方法です（A.フィリップス、1967年の方法で、中心ステップはボー表面の二重被覆であり、またB.モーリンとJ.P.ペティット、1979年の研究では、モーリンの「四つの耳」モデルが中心モデルとして採用されており、ここに示されているのは私が10年前に考案した多面体表現です）。
もし、これらのオブジェクトが尖点を含んでもよいというルールを拡張すれば、浸漬（summersion）（クロスキャップ、ローマン表面）が得られます。私は「浸漬」という語が正しいかどうかはわかりませんが、この点について明確に説明してくれる数学者がいなかったため、私は面白い語を考案しました。少なくとも、専門家が現れるまで、これは一時的な語です。したがって、クロスキャップ表面とローマン表面は「射影平面」の浸漬です。
正直に言うと、25年の活動とマグネト・エレクトロダイナミクスでの失望から、これらの作業は軍事的な応用とは最も遠いものであると考えていました。しかし、私の古い友人Mihnが指摘したように、「浸漬」という語は混乱を招く可能性があり、海軍がこの研究を通じて水中推進技術の進歩を隠していると誤解する恐れがあります。
尖点の「生成-解消」ルールにより、あるオブジェクトの浸漬から別の浸漬に移行できます。これは私たちが行ったことであり、クロスキャップ表面とローマン表面が同じオブジェクト、つまり射影平面の2つの浸漬であることを示しました。射影平面を想像しようとしないでください。このオブジェクトは、さまざまな異なる表現を通じて理解されるべきです。「射影的」という語は、数学者が閉じたサークルに侵入しようとする者を混乱させるために考案した1000の語の1つに過ぎません。ザニチェッリは数学では役に立ちません。
したがって、最後に射影平面の浸漬であるボー表面への移行方法を見てみましょう
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