数学 幾何学 表面 トポロジー
クロスキャップ表面をどのようにしてボイ表面（右または左、お好みで）に変えるか
ステインァーのローマン表面を通じて。
イタリア語：アンドレア・サムブセット、ローマ大学
../../Crosscap_Boy1.htm
**2003年9月27日 - 2003年10月25日 **
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これは「クロスキャップ表面」と呼ばれるものです（仮想現実の画像でご存知のように）。この表面には、自己交差線の頂点である2つの尖点があります。これは、ピンチで風船を挟むことで作ることができます。また、多面体的な表現も作ることができます。下に示すものは特に私たちにとって重要です。
表4には、最も難しいことが記載されています。これらの物体を図で見るだけで理解するのは不可能だと感じます。モデルを作りましょう。要するに、尖点C2を「表面の内部」に向かって引き寄せます（余談ですが、これは意味がないのです。なぜなら、すぐに気づいたでしょうが、クロスキャップ表面は単側面であり、外側と内側の面を持っていないからです）。この操作を続けると、表面は「自己交差」し、自己交差の集合は少し丸められて、8の字のような曲線になります。その結果、間接的に、三重点Tが生じます。
この表面は多面体的な形でより理解しやすくなり、下に示すものは、このオブジェクトをローマン表面に変換するためのものです（仮想現実のシミュレーションを参照してください）。その最も単純な多面体的な形は、4つの立方体を組み合わせることです（ここでは3つしか見られません）。
表5：左側は多面体的、右側は丸みを帯びた形。矢印は「絞る」ポイントを通ります。下には絞り始めの様子が示されています。
表6：絞りが行われ、特異点Bが生じます。実際には、両側から絞るため、2つの特異点S1とS1が生じ、その後2つの尖点が生じます。この時点で、カートンやハサミ、テープがなければ、とても難しいです。
表7：ここでは単に異なる尖点を移動させています。C2が「明確」であることは間違いありませんが、C3とC4が尖点であることを識別するのはより困難かもしれません。しかし、それらは自己交差線の端にあります。C3の上には、私が「ポジコン」と呼んだものがあります。これは、正の曲率が集中している点です（負の曲率が集中している点を私は「ネガコン」と呼びます）。このオブジェクトを少し変形すると、ステインァーのローマン表面の多面体的な形になります（ステインァーがローマで考案したものです；仮想現実の図を参照してください）。
したがって、この操作は完了しました。表面には、それぞれのルールに応じてさまざまな種類があります。自己交差しない表面は「埋め込み（R3における球面やトーラス）」と呼ばれます。一方、自己交差するが接平面が連続的に変化し、退化しないものは「浸漬（immersion）」と呼ばれます。例えば、クラインの壺の古典的な表現です。R3では、クラインの壺の埋め込み表現は存在せず、必然的に自己交差します。浸漬には自己交差の集合があり、尖点は含まれません。これらの集合は連続的な曲線ですが、二重点や三重点で交差することがあります。観察：球面は埋め込みではなく、自己交差させることで実現できます。これは、逆さにすること（A.フィリップス、1967年、ボーの表面の二重被覆が中心となる方法；また、B.モーリンとJ.P.ペティット、1979年の研究で、中心モデルとしてモーリンの「四つの耳」モデルを採用しており、ここに示すのは私が10年前に考案した多面体的な表現です）。
もし、これらのオブジェクトが尖点を含んでもよいとルールを拡張すれば、サムマージョン（クロスキャップ、ステインァーのローマン表面）が得られます。サムマージョンという語が正しいかどうかはわかりませんが、この点について明確に説明してくれる数学者がいなかったため、私は一時的にこの語を考案しました。少なくとも、専門家が現れるまで、これは一時的なものです。したがって、クロスキャップ表面とステインァーのローマン表面は、射影平面と呼ばれる同じオブジェクトのサムマージョンです。射影平面を想像しようとしないでください。このオブジェクトは、さまざまな表現を通してのみ理解できます。また、「射影的」という語は、数学者が閉じたサークルに誰かを引き入れることを防ぐために考案した1000の語の1つに過ぎません。ザニチェッリは数学では役に立ちません。
したがって、最後に、射影平面の浸漬であるボイ表面への移行方法を見てみましょう
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