ボイの表面の幾何学 ポリヘドロナル表面 ステイナーのローマン表面

クロスカップの表面をどうやってボイの表面（右または左、選択可能）に変換するか

ステイナーのローマン表面を通じて。

イタリア語：アンドレア・サムブセットティ、ローマ大学

../../Crosscap_Boy1.htm

2003年9月27日 - 10月25日

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私たちは別の視点からモデルを紹介します：

表14：同じ操作を繰り返して、自己交差曲線の3番目の「耳」を作ります。ポリヘドナルモデルでは、最後のものは共通の頂点を持つ3つの正方形で構成されています：三重点 T です。

表15：オブジェクトを回転させると、私がトポロジコンで紹介したボイの表面のポリヘドナルバージョンが現れます（そこでは、それを構築するための組み立て図も見つけることができます）。

最後の表：私はステイナーの表面がねじれながらボイの表面に変化する様子を説明しようとしました。

見ての通り、丸みを帯びたように描かれた場合、理解するにはかなりの練習が必要です。視線の同じ線上に2つ以上の面が重なっているようなオブジェクトを理解するには、私たちの目は非常に不快に感じます。ここにポリヘドナルモデルの価値があります。誰でも、自分でモデルを組み立ててみることで、幾何学で考えられる複雑な変換を理解できるようになります。余談ですが、選ばれた尖点のペアによって、ボイの表面は「右」または「左」となります（完全に任意の定義です）。射影平面は、対称な2つの「反自己同型」表現を通じて空間に埋め込まれます。したがって、ボイの表面の右と左は、中央のモデルであるステイナーのローマン表面を通じて変換可能であることもわかります。

これらの図が「Pour la Science」や「La Recherche」などの雑誌に掲載されれば、きっと面白いでしょう。しかし、20年間、私はUFO的異端思想のため、これらの雑誌への掲載が「禁止」されています。ごめんなさい、ヘーブル・ティス氏とフィリップ・ボランジェ氏。私はこれらの雑誌に提出したこの種の記事の数を数えられなくなりました。そして、次第に「追放者」としての立場に慣れてきました。

エピソードとして、数学の啓蒙書の著者を表彰する「アレムベール賞」があります。その話は、賞の授与を決定する委員会のメンバーから聞きました（もちろん、お金の問題もあります）。会話：

• とにかく、ペティットに賞をあげたらどうですか？彼は「Géométricon」、「Trou Noir」、そして「Topologicon」といった素晴らしい作品を書いています。

• はい、でも彼はそれだけではありません。

• どういうことですか？

• また「Mur du Silence」という本も書いています。

• ああ、そうですね。

そうです、1983年に出版された「Mur du Silence」はMHD（未確認飛行物体）に関するアルバムです。そして、誰もが知っているように、この腐敗する科学は、飛行物体が音速を超えて移動するときに「バーン」という音を出さないという特徴を持っています。

「この科学を隠して、私は見たくない」

私は「立方体のひっくり返し」の素晴らしいバージョンを持っていて、これはモーリンのバージョンのポリヘドナル版ではありません。これは私のオリジナルです。いつかは皆さんに紹介する予定です。

2003年10月22日：カウンターによると、これらのページはあまり注目されていません。10月13日月曜日に、トロトマン氏の招待で、シャトー・ゴンボン・マーセーの数学・情報学センター（CMI）で講義を行いました。その際に、約30個の紙で作られたモデルのコレクションを紹介することができました。いつか皆様にその初公開を楽しんでもらえるように、クリストフ・ターディによって撮影されています。

講義を行うと、ある雰囲気が生まれます。下の写真では、幾何学者が困惑している様子が見えます。

背景には、長年の共同研究者であるボリス・コレフ氏（彼も幾何学者）の協力で展示されたモデルの一部があります。ある時点で私は質問しました：

• ここにいる方のうち、誰かがすでにステイナーのローマン表面を見たことがありますか？手を挙げてください。

誰も見たことがありませんでした。したがって、このオブジェクトを紹介するのは役立つと思いました。私は、クリストフ・ターディ氏（エンジニア）とグロノーブルのラウエ・ランゲヴィン研究所（ILL）のフローレンス・デスカンプ氏の協力で作成した仮想現実プログラムを使って、手持ちのノートパソコンで紹介しました。明らかに、このプレゼンテーションは、数学的表面が自由に回転するのを見慣れていない観客を困惑させました。

前面上に見える2つの紙の表は、モデルの順序を論理的に提示するために役立ちました。緑色と黄色のモデルは、尖点のペアの作成と解消の基本的なツールをポリヘドナル形式で示しています。遠くの白いオブジェクトは、クロスカップ表面のポリヘドナルバージョンであり、まずローマンステイナー表面のポリヘドナルバージョンに変化し、その後、1メートルほど先で、自由に右または左のボイの表面になります。

モデルの分析により、観客からいくつかの観察が浮かび上がりました。幾何学者の一人が尋ねました：

• これらのモデルをこの順序でたどると、クロスカップ表面からボイの表面に移行できることが分かったが、逆の手順でボイの表面をクロスカップ表面に変換できるのだろうか？

私は肯定的に答えました。自信が出てきた彼は続けました：

• では、ローマンステイナー表面の段階で止まれば、初期のボイの表面の鏡像に戻ることができるだろうか？

私は再度肯定しました。しかし、残念なことに、この世界では閉じた表面の浸漬が尖点をペアで作ったり消したりできるという、奇妙な世界について何かを説明する人は誰もいません。この「浸漬」の概念は適切だと私は感じます。もし読者が何か説明をしてくれるなら、歓迎します。

尖点に集中的な曲率。

私たちは頂点の角度を合計し、その合計をユークリッド平面の場合の結果（2π）と比較して計算します。

左上には、尖点の多くのポリヘドナル表現の一つが表示されています。「表面を分解」すると、角度の合計が2πを2a超えることがわかります。したがって、この点Cの周りの角度の曲率は-2aです。角度aがπ/2に等しい場合、負の曲率は-π（左下の図）になります。実際、尖点の曲率は無限の値を取り得ます。右下では角度の合計を強調し、曲率は-πより小さくなります（負の曲率を増加させました）。

逆の方法で行うと、驚くべき状況に到達できます：この点Cに集中的な曲率（角度）が...ゼロになるようにできます：

今から、2つの尖点を含むクロスカップ表面のポリヘドナル表現を始めます。それぞれの尖点の曲率は-πです：

この図には、+π/2の値を持つ8つの「ポジコン」があります。さらに、+π/4の曲率を持つ4つの「ポジコン」と、-π/4の曲率を持つ4つの「ネガコン」を加えます。

そして、2つの尖点の曲率が-πです。

合計：2π

この「総曲率」を2πで割ると、射影平面（またはボイの表面）のあらゆる表現におけるオイラー・ポアンカレ特性値が得られます。

講義の中で私は、アートとクロスカップ表面の2つの尖点を交換する方法について言及しました。