モデル表面の幾何学的数学モデル

クロスカップ表面をどうやってボイの表面（右または左、選択可能）に変換するか

ステインァーのローマン表面を通じて。

イタリア語：アンドレア・サムブセットティ、ローマ大学

../../Crosscap_Boy1.htm

2003年9月27日 - 10月25日

ページ4

私たちは別の視点からこのモデルを紹介します：

表14：同じ操作を繰り返して、自己交差曲線の第3の「耳」を作ります。ポリゴナルモデルでは、最後のものは共通の頂点を持つ3つの正方形で構成されています：三重点 T です。

表15：オブジェクトを回転すると、私がトポロジコンで紹介したボイのポリゴナルバージョンが再現されます（そこには、それを構築するための組み立て図も掲載されています）。

最後の表：私はステインァーの表面がねじれながらボイの表面に変化する様子を説明しようと試みました。

「丸みを帯びた」ように描かれた場合、理解するにはかなりの練習が必要です。視線の上に複数の面が重なっているようなオブジェクトを理解するには、私たちの目は非常に不快に感じます。このため、ポリゴナルモデルは、誰でも自分でモデルを組み立ててみることで、幾何学で考えられる複雑な変換を理解できるようにする価値があります。余談ですが、選ばれた尖点のペアによって、ボイの表面は「右」または「左」になります（完全に任意の定義です）。射影平面は、鏡像対称な2つの「反自己同型」表現を通じて空間に埋め込まれます。したがって、ボイの右表面から左表面へと移行することは、中間の「ローマン表面」であるステインァーの表面を通じて可能であることもわかります。

これらの図が「Pour la Science」や「La Recherche」などの雑誌に掲載されれば、きっと面白いでしょう。しかし、20年間、UFOの異端思想に関する理由で、これらの雑誌への掲載が禁止されています。ごくごく親切なヒルベ・ティス氏とフィリップ・ボランジェ氏に感謝します。私はこれらの雑誌に提出したこの種の記事を数え切れず、丁寧に断られました。最終的には、自分の追放者としての立場に慣れるようになりました。

余談として、「アレムベール賞」という数学啓蒙書の著者を表彰する賞があります。この話は、賞の授与を決定する委員会のメンバーから聞きました（お金の問題もあります）。会話：

• では、ペティに賞をあげないのはなぜですか？彼は『Géométricon』『Trou Noir』『Topologicon』といった優れた作品を書きました。

• はい、でも彼はそれだけではありません。

• どういうことですか？

• 『Mur du Silence』も書きました。

• ああ、そうですね。

そうです、1983年に出版された『Mur du Silence』はMHD（未確認飛行物体）に関するアルバムです。そして、私たちが知っているように、この腐敗した科学は、飛行物体が音速を超えて移動するときに「バーン」という音を出さないという特徴を持っています。

「この科学を隠して、私は見たくない」

私は「立方体の反転」の素晴らしいバージョンを持っており、これはモーリンの変形のポリゴナルバージョンではありません。これは私のオリジナルです。いつかは...

2003年10月22日：これらのページは、カウンターによるとそれほど多くの注目を浴びていません。10月13日月曜日に、トロトマン氏の招待で、シャトー・ゴンボン・マーセルの数学・情報科学センター（CMI）で講義を行いました。その際、私は約30個の紙で作られたモデルのコレクションを紹介することができ、いつか皆さんにその初見を楽しんでもらえるでしょう。これらはクリストフ・ターディによって撮影されました。

講義を行うと、ある雰囲気が生まれます。下の写真では、幾何学者が困惑している様子が見えます。

背景には、長年の共同研究者であるボリス・コレフ氏（彼も幾何学者）の協力で展示されたモデルの一部があります。その中で、私は次のように尋ねました：

• ここにいる方で、ローマン表面を一度でも見たことがありますか？手を挙げてください。

誰も見たことがありませんでした。したがって、このオブジェクトを紹介するのは有用だと感じました。私は、クリストフ・ターディ氏（エンジニア）とグロノーブルのラウエ・ランゲヴィン研究所（ILL）のフリーデリック・デスカンプ氏の協力で作成した仮想現実プログラムを使って、ノートパソコンで紹介しました。明らかに、このプレゼンテーションは、数学的表面が自由に回転する様子に慣れていない観客を困惑させました。

前で見える2枚の紙の表は、モデルの順序的な連続性を提示するために使われました。緑と黄色のモデルは、尖点のペアの作成・解消に必要なポリゴナルな道具を示しています。遠くの白いオブジェクトは、クロスカップ表面のポリゴナルバージョンであり、まずローマン表面のポリゴナルバージョンに変化し、その後、1メートルほど離れた場所で、ボイの表面「右」または「左」に変化します。

モデルの分析により、観客からさまざまな観察が浮かび上がりました。ある幾何学者が尋ねました：

• これらのモデルをこの順序でたどることで、クロスカップ表面からボイの表面に移行できるなら、逆の手順でボイの表面をクロスカップ表面に変換できるのでは？

私は肯定的に答えました。さらに自信を深めた彼は、次のように付け加えました：

• では、ローマン表面の段階で止まれば、元のボイの表面の鏡像に再び戻ることができるのでは？

私は再び肯定しました。しかし、残念なことに、このようにして表面の閉じた浸漬が尖点をペアで作ったり解いたりできるような、奇妙な世界についての説明を誰も行いませんでした。この世界は、浸漬の拡張のようなものです。「サムマージョン」という語は適切だと感じます。もし読者がこの世界について何か説明を提供できるなら、歓迎します。

尖点に集中的な曲率。

これは頂点の角度を合計し、その合計をユークリッド平面の場合の結果（2π）と比較することで求められます。

左上には、尖点の多くのポリゴナル表現の1つが表示されています。「表面を分解」すると、角度の合計が2πを2aだけ超えます。したがって、この点Cの周囲に集中的な角度曲率は -2a であるとわかります。角度aがπ/2に等しい場合、負の曲率は -π になります（下左の図）。実際、尖点の曲率は無限の値を取り得ます。下右の図では角度の合計を強調し、曲率が -π よりも小さくなる（負の曲率が増加する）ことを示しています。

逆の操作を行うことで、驚くような状況に到達します：この点Cに集中的な曲率（角度）は...ゼロになります：

今、2つの尖点を持つクロスカップ表面のポリゴナル表現から始めます。それぞれの尖点の曲率は -π です。

この図には、+π/2の値を持つ8つの「ポジコン」があります。さらに、+π/4の曲率を持つ4つの「ポジコン」と、-π/4の曲率を持つ4つの「ネガコン」を加えます。

さらに、曲率が -π の2つの尖点があります。

合計：2π

この「総曲率」を2πで割ると、射影平面（またはボイの表面）のあらゆる表現におけるオイラー・ポアンカレ特性が得られます。

講義の中で、私は球体の反転を使ってクロスカップ表面の2つの尖点を入れ替える芸術について言及しました。もう分からない...